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- Contributions : Récentes | Sans réponse
#1 05-02-2016 19:16:44
- milexarc
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Convergence uniforme série de fonctions
Bonjour,
ll faut que je montre que [tex]\sum_{n \ge 1} \frac{1}{x^2n^3+n^2}[/tex] converge uniformément sur [tex]\mathbb{R}[/tex] vers une fonction f qu'il faut déterminer.
J'ai dérivé le terme général cherché quand est-ce qu'il s'annule (pour x = 0) J'ai donc majoré [tex]|\frac{1}{x^2n^3+n^2}|[/tex] par [tex]\frac{1}{n^2}[/tex] qui est le terme général d'une série de Riemann convergente (paramètre = 2 > 1). Ce qui montre que la série est normalement convergente donc uniformément convergente sur [tex]\mathbb{R}[/tex].
Cependant, je ne sais pas si la série converge vers [tex]\frac{1}{n^2}[/tex] ou vers [tex]lim_{n\to \infty}\frac{1}{n^2}[/tex] ?
Merci ! :)
Dernière modification par milexarc (05-02-2016 19:18:31)
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#2 05-02-2016 20:26:02
- Ostap Bender
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Re : Convergence uniforme série de fonctions
Bonjour milexarc.
Ni l'un ni l'autre. Si tu notes [tex] F(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac1{x^2n^3+n^2}[/tex], tu obtiens une fonction paire. Effectivement [tex]F(0)= \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac1{n^2}=\dfrac{\pi^2}6[/tex]. Mais tu vois bien que [tex]F[/tex] est une fonction décroissante sur [tex][0,+\infty[[/tex].
Ostap Bender
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#4 05-02-2016 20:45:01
- Ostap Bender
- Membre
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Re : Convergence uniforme série de fonctions
Il n'y a pas à ma connaissance d'expression simple (closed form) pour la somme que j'ai appelé [tex]F(x)[/tex].
Mais tu peux très bien tracer une représentation graphique de cette fonction, avec geogebra par exemple.
Ostap Bender
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#6 06-02-2016 10:30:54
- freddy
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Re : Convergence uniforme série de fonctions
Salut,
il faut chercher du côté de de la fonction Gamma et de sa dérivée logarithmique.
Eulériennes de première et seconde espèces, Gamma et Beta, t'as déjà rencontré ?
De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.
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#8 06-02-2016 13:14:26
- freddy
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Re : Convergence uniforme série de fonctions
Bonjour Freddy,
non je ne connais pas ...
Alors, ça me paraît mal barré ...
De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.
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#9 06-02-2016 20:43:46
- Fred
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Re : Convergence uniforme série de fonctions
Salut,
Je suis moi aussi surpris par l'énoncé. L'intérêt des séries de fonctions, c'est que souvent la somme est justement une fonction inconnue (en tout pas, pas une fonction classique) qu'on étudie par l'intermédiaire de la série.
F.
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