Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 01-02-2016 15:19:08

milexarc
Membre
Inscription : 15-04-2015
Messages : 29

Sous groupes

Bonjour,
j'aurais besoin d'aide sur cet exercice svp :

On considère le groupe additif ([tex]\mathbb{Z}_{20},+[/tex]) et le monoïde multiplicatif ([tex]\mathbb{Z}_{20},.[/tex])

1) Déterminer G l'ensemble des éléments inversibles de ([tex]\mathbb{Z}_{20},.[/tex]) , j'ai trouvé G = {1,3,7,9,11,13,17,19}
2) Pour tout [tex]a\in G[/tex], déterminer le sous groupe [tex]G_a=<a>[/tex] de (G, .)
3) Déterminer un ensemble minimal de générateur G. J'ai mis (1,3,9,11,13,19) car 7 est l'inverse de 3 et 17 est l"inverse de 13
4) (G, .) est-il un groupe cyclique ? Non car il n'est pas engendré par un seul élément
5) Préciser tout les sous groupes [tex]H_i[/tex] de (G, .) et un ensemble de générateur de chaque sous groupe
6) Chaque ([tex]G_a, .)[/tex] ou chaque ([tex]H_i, .)[/tex] est-il isomorphe à un groupe additif de type ([tex]\mathbb{Z}_{m},+[/tex])


Merci d'avance :)

Hors ligne

#2 01-02-2016 17:31:04

Ostap Bender
Membre
Inscription : 23-12-2015
Messages : 242

Re : Sous groupes

Bonjour Milexarc.

1. D'accord pour les huit.
2.
3. 1 n'est pas un générateur. 9 est obtenu comme carré de 3. Tu peux et tu dois les enlever.

Ostap Bender

Hors ligne

#3 01-02-2016 17:48:13

milexarc
Membre
Inscription : 15-04-2015
Messages : 29

Re : Sous groupes

pour la question 3)
effectivement le 9 n'en fait pas partie .. par contre je ne comprend pas pourquoi le 1 ne doit pas y être ?

Pourrais-tu m'aider pour  les questions 2, 5 et 6 stp ?

Hors ligne

#4 01-02-2016 18:35:50

Ostap Bender
Membre
Inscription : 23-12-2015
Messages : 242

Re : Sous groupes

Tu as [tex]1=11^2[/tex] par exemple.

Pour le 2. Tu prends le générateur 3. Tu calcules ses puissances :
[tex]3^0=1;3^1=3;3^2=9;3^3=7;3^4=1[/tex] et tu retournes au point de départ. C'est ça un groupe cyclique.
Tu as donc [tex]\langle 3 \rangle = \{1,3,9,7\} =\langle 7 \rangle [/tex]. En revanche [tex]\langle 9 \rangle = \{1,9\} [/tex].
etc.

Ostap Bender

Hors ligne

#5 01-02-2016 18:44:01

milexarc
Membre
Inscription : 15-04-2015
Messages : 29

Re : Sous groupes

Ok pour 1 = 11² j'avais pas vu :/

Donc pour la 2, il faut prendre uniquement les générateurs ? car c'est écrit pour tout a ...
Je le fait de suite et je te met ce que j'obtiens.

Merci ! :)

Hors ligne

#6 01-02-2016 18:56:25

milexarc
Membre
Inscription : 15-04-2015
Messages : 29

Re : Sous groupes

<1> = {1}
<3> = {1,3,9,7}
<7> = {1,7,9,3}
<9> = {1,9}
<11> = {1,11}
<13> = {1,13,9,7}
<17> = {1,9,3}
<19> = {1,19}

Est-ce juste ?

Hors ligne

#7 01-02-2016 19:09:43

Ostap Bender
Membre
Inscription : 23-12-2015
Messages : 242

Re : Sous groupes

<17> est faux. Il ne peut pas y avoir de sous groupe d'ordre 3 dans un groupe d'ordre 8. C'est un simple oubli n'est-ce pas ?

Ostap Bender

Hors ligne

#8 01-02-2016 19:13:38

milexarc
Membre
Inscription : 15-04-2015
Messages : 29

Re : Sous groupes

Oui c'est un oubli

<17> = {1,7,9,3}

Quelle est la différence entre cette question et la 5 ?

Hors ligne

#9 01-02-2016 19:18:56

Ostap Bender
Membre
Inscription : 23-12-2015
Messages : 242

Re : Sous groupes

Jusque-là, tu as dressé la liste de tous les sous-groupes cycliques. Dans le 5. On te demande tous les sous-groupes, parmi lesquels il y a [tex]G[/tex] par exemple.

Ostap Bender

Hors ligne

#10 01-02-2016 19:26:44

milexarc
Membre
Inscription : 15-04-2015
Messages : 29

Re : Sous groupes

ah ... ok !
Alors, je sais que pour que G' soit un sous-groupe de G il faut que [tex]x.y\in G' \quad \forall x,y\in G[/tex], ça c'est la théorie mais en pratique, je bloque :/ tu peux me montrer un exemple stp ?

Hors ligne

#11 01-02-2016 19:34:26

Ostap Bender
Membre
Inscription : 23-12-2015
Messages : 242

Re : Sous groupes

Tu vas prendre les générateurs par deux, par exemple
[tex]\langle 3,11 \rangle = \{1,3,9,7,11, 13,19,17 \} = G [/tex]. Ce qui prouve au passage que [tex]G[/tex] peut être engendré par deux éléments seulement.

Essaye de calculer [tex]\langle 11,19 \rangle [/tex].

Ostap Bender

Hors ligne

#12 01-02-2016 19:45:10

milexarc
Membre
Inscription : 15-04-2015
Messages : 29

Re : Sous groupes

Je ne comprend pas ...
ne faut-il pas rassembler les éléments de <3> et de <11>?

Hors ligne

#13 01-02-2016 20:00:49

Ostap Bender
Membre
Inscription : 23-12-2015
Messages : 242

Re : Sous groupes

Non, ça ne suffit pas. Parmi les éléments de [tex]\langle 3,11 \rangle[/tex], tu as [tex]3\times3 = 13[/tex] par exemple.

Ostap Bender

Oups !  [tex]3\times11 = 13[/tex] bien sûr. Merci d'avoir rectifié !

Dernière modification par Ostap Bender (01-02-2016 20:09:17)

Hors ligne

#14 01-02-2016 20:06:32

milexarc
Membre
Inscription : 15-04-2015
Messages : 29

Re : Sous groupes

3 x 3 = 9
nan ? ^^

Je suppose que tu veux dire 3 x 11 :)
ok, je vois le principe : 9 x 11 = 19 et 7 x 11 = 17

Je fais une pause et je continue ce soir où demain matin ...

Hors ligne

#15 01-02-2016 20:07:41

milexarc
Membre
Inscription : 15-04-2015
Messages : 29

Re : Sous groupes

Merci beaucoup pour ton aide :D

Hors ligne

#16 01-02-2016 20:13:18

milexarc
Membre
Inscription : 15-04-2015
Messages : 29

Re : Sous groupes

<11,19> = {1, 11, 19, 9}

Hors ligne

#17 01-02-2016 20:56:16

Ostap Bender
Membre
Inscription : 23-12-2015
Messages : 242

Re : Sous groupes

Je confirme.

Maintenant tu as un groupe d'ordre 8. Ses sous-groupes sont d'ordre 1,2,4 ou 8.
Tu as 1 élément d'ordre 1.
           3                               2.
           4                               4.
Dès que tu rajoutes un élément extérieur à un sous-groupe d'ordre 4, boum, tu passes tout de suite à l'ordre 8 c'est-à-dire à G tout entier.
Restent les éléments d'ordre 2 que tu peux combiner : 11,19 et 9.
As-tu tous les sous-groupes de G ?

Ostap Bender.

Hors ligne

#18 02-02-2016 10:06:38

milexarc
Membre
Inscription : 15-04-2015
Messages : 29

Re : Sous groupes

Bonjour,

<3,11> = <3,13> = <3,19> = <11,13> = <13,19> = G
Un ensemble de générateur est donc (3, 11, 13, 19)

<11,19> = {1, 11, 19, 9}
Un ensemble de générateur est (11, 19)

Je n'en ai pas oublié ?

Hors ligne

#19 02-02-2016 10:12:47

milexarc
Membre
Inscription : 15-04-2015
Messages : 29

Re : Sous groupes

pour la dernière question)
Je sais que tout groupe cyclique d'ordre n est isomorphe à [tex]\mathbb{Z}_n[/tex] donc :
<1> est isomorphe à [tex]\mathbb{Z}[/tex]
<3>, <7>, <13> et <17> sont isomorphe à [tex]\mathbb{Z}_4[/tex]
<9> , <11>, <19> sont isomorphe à [tex]\mathbb{Z}_2[/tex]

Par contre pour les sous groupes de la question précédente je ne sais pas

EDIT 1 : Je dirais que <11,19> est isomorphe à [tex]\mathbb{Z}_4[/tex]et que les autres ne sont pas isomorphe car non cyclique
EDIT 2 : ah bin non ... <11, 19> n'est pas cyclique car il est engendré par 2 éléments ..

Dernière modification par milexarc (02-02-2016 10:25:41)

Hors ligne

#20 02-02-2016 11:05:16

Ostap Bender
Membre
Inscription : 23-12-2015
Messages : 242

Re : Sous groupes

[tex]\langle 1 \rangle[/tex] est fini. Il ne peut pas être isomorphe à un groupe infini comme [tex]\mathbf Z[/tex].
Sinon je suis d'accord avec le reste.
Il manque simplement le sous-groupe [tex]G[/tex].

Ostap Bender

Hors ligne

#21 02-02-2016 11:09:12

milexarc
Membre
Inscription : 15-04-2015
Messages : 29

Re : Sous groupes

<1> est isomorphe à [tex]\mathbb{Z}_1[/tex]

G est un sous groupe de G ?


Merci beaucoup pour ton aide :)

Hors ligne

#22 02-02-2016 11:58:45

Ostap Bender
Membre
Inscription : 23-12-2015
Messages : 242

Re : Sous groupes

Oui, tout groupe s'admet lui-même parmi ses sous-groupes.

Ostap Bender

Hors ligne

Réponse rapide

Veuillez composer votre message et l'envoyer
Nom (obligatoire)

E-mail (obligatoire)

Message (obligatoire)

Programme anti-spam : Afin de lutter contre le spam, nous vous demandons de bien vouloir répondre à la question suivante. Après inscription sur le site, vous n'aurez plus à répondre à ces questions.

Quel est le résultat de l'opération suivante (donner le résultat en chiffres)?
soixante trois plus soixante et un
Système anti-bot

Faites glisser le curseur de gauche à droite pour activer le bouton de confirmation.

Attention : Vous devez activer Javascript dans votre navigateur pour utiliser le système anti-bot.

Pied de page des forums