Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
Pages : 1
#1 01-02-2016 15:19:08
- milexarc
- Membre
- Inscription : 15-04-2015
- Messages : 29
Sous groupes
Bonjour,
j'aurais besoin d'aide sur cet exercice svp :
On considère le groupe additif ([tex]\mathbb{Z}_{20},+[/tex]) et le monoïde multiplicatif ([tex]\mathbb{Z}_{20},.[/tex])
1) Déterminer G l'ensemble des éléments inversibles de ([tex]\mathbb{Z}_{20},.[/tex]) , j'ai trouvé G = {1,3,7,9,11,13,17,19}
2) Pour tout [tex]a\in G[/tex], déterminer le sous groupe [tex]G_a=<a>[/tex] de (G, .)
3) Déterminer un ensemble minimal de générateur G. J'ai mis (1,3,9,11,13,19) car 7 est l'inverse de 3 et 17 est l"inverse de 13
4) (G, .) est-il un groupe cyclique ? Non car il n'est pas engendré par un seul élément
5) Préciser tout les sous groupes [tex]H_i[/tex] de (G, .) et un ensemble de générateur de chaque sous groupe
6) Chaque ([tex]G_a, .)[/tex] ou chaque ([tex]H_i, .)[/tex] est-il isomorphe à un groupe additif de type ([tex]\mathbb{Z}_{m},+[/tex])
Merci d'avance :)
Hors ligne
#2 01-02-2016 17:31:04
- Ostap Bender
- Membre
- Inscription : 23-12-2015
- Messages : 242
Re : Sous groupes
Bonjour Milexarc.
1. D'accord pour les huit.
2.
3. 1 n'est pas un générateur. 9 est obtenu comme carré de 3. Tu peux et tu dois les enlever.
Ostap Bender
Hors ligne
#4 01-02-2016 18:35:50
- Ostap Bender
- Membre
- Inscription : 23-12-2015
- Messages : 242
Re : Sous groupes
Tu as [tex]1=11^2[/tex] par exemple.
Pour le 2. Tu prends le générateur 3. Tu calcules ses puissances :
[tex]3^0=1;3^1=3;3^2=9;3^3=7;3^4=1[/tex] et tu retournes au point de départ. C'est ça un groupe cyclique.
Tu as donc [tex]\langle 3 \rangle = \{1,3,9,7\} =\langle 7 \rangle [/tex]. En revanche [tex]\langle 9 \rangle = \{1,9\} [/tex].
etc.
Ostap Bender
Hors ligne
#7 01-02-2016 19:09:43
- Ostap Bender
- Membre
- Inscription : 23-12-2015
- Messages : 242
Re : Sous groupes
<17> est faux. Il ne peut pas y avoir de sous groupe d'ordre 3 dans un groupe d'ordre 8. C'est un simple oubli n'est-ce pas ?
Ostap Bender
Hors ligne
#9 01-02-2016 19:18:56
- Ostap Bender
- Membre
- Inscription : 23-12-2015
- Messages : 242
Re : Sous groupes
Jusque-là, tu as dressé la liste de tous les sous-groupes cycliques. Dans le 5. On te demande tous les sous-groupes, parmi lesquels il y a [tex]G[/tex] par exemple.
Ostap Bender
Hors ligne
#10 01-02-2016 19:26:44
- milexarc
- Membre
- Inscription : 15-04-2015
- Messages : 29
Re : Sous groupes
ah ... ok !
Alors, je sais que pour que G' soit un sous-groupe de G il faut que [tex]x.y\in G' \quad \forall x,y\in G[/tex], ça c'est la théorie mais en pratique, je bloque :/ tu peux me montrer un exemple stp ?
Hors ligne
#11 01-02-2016 19:34:26
- Ostap Bender
- Membre
- Inscription : 23-12-2015
- Messages : 242
Re : Sous groupes
Tu vas prendre les générateurs par deux, par exemple
[tex]\langle 3,11 \rangle = \{1,3,9,7,11, 13,19,17 \} = G [/tex]. Ce qui prouve au passage que [tex]G[/tex] peut être engendré par deux éléments seulement.
Essaye de calculer [tex]\langle 11,19 \rangle [/tex].
Ostap Bender
Hors ligne
#13 01-02-2016 20:00:49
- Ostap Bender
- Membre
- Inscription : 23-12-2015
- Messages : 242
Re : Sous groupes
Non, ça ne suffit pas. Parmi les éléments de [tex]\langle 3,11 \rangle[/tex], tu as [tex]3\times3 = 13[/tex] par exemple.
Ostap Bender
Oups ! [tex]3\times11 = 13[/tex] bien sûr. Merci d'avoir rectifié !
Dernière modification par Ostap Bender (01-02-2016 20:09:17)
Hors ligne
#17 01-02-2016 20:56:16
- Ostap Bender
- Membre
- Inscription : 23-12-2015
- Messages : 242
Re : Sous groupes
Je confirme.
Maintenant tu as un groupe d'ordre 8. Ses sous-groupes sont d'ordre 1,2,4 ou 8.
Tu as 1 élément d'ordre 1.
3 2.
4 4.
Dès que tu rajoutes un élément extérieur à un sous-groupe d'ordre 4, boum, tu passes tout de suite à l'ordre 8 c'est-à-dire à G tout entier.
Restent les éléments d'ordre 2 que tu peux combiner : 11,19 et 9.
As-tu tous les sous-groupes de G ?
Ostap Bender.
Hors ligne
#19 02-02-2016 10:12:47
- milexarc
- Membre
- Inscription : 15-04-2015
- Messages : 29
Re : Sous groupes
pour la dernière question)
Je sais que tout groupe cyclique d'ordre n est isomorphe à [tex]\mathbb{Z}_n[/tex] donc :
<1> est isomorphe à [tex]\mathbb{Z}[/tex]
<3>, <7>, <13> et <17> sont isomorphe à [tex]\mathbb{Z}_4[/tex]
<9> , <11>, <19> sont isomorphe à [tex]\mathbb{Z}_2[/tex]
Par contre pour les sous groupes de la question précédente je ne sais pas
EDIT 1 : Je dirais que <11,19> est isomorphe à [tex]\mathbb{Z}_4[/tex]et que les autres ne sont pas isomorphe car non cyclique
EDIT 2 : ah bin non ... <11, 19> n'est pas cyclique car il est engendré par 2 éléments ..
Dernière modification par milexarc (02-02-2016 10:25:41)
Hors ligne
#20 02-02-2016 11:05:16
- Ostap Bender
- Membre
- Inscription : 23-12-2015
- Messages : 242
Re : Sous groupes
[tex]\langle 1 \rangle[/tex] est fini. Il ne peut pas être isomorphe à un groupe infini comme [tex]\mathbf Z[/tex].
Sinon je suis d'accord avec le reste.
Il manque simplement le sous-groupe [tex]G[/tex].
Ostap Bender
Hors ligne
#22 02-02-2016 11:58:45
- Ostap Bender
- Membre
- Inscription : 23-12-2015
- Messages : 242
Re : Sous groupes
Oui, tout groupe s'admet lui-même parmi ses sous-groupes.
Ostap Bender
Hors ligne
Pages : 1