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#1 31-01-2016 16:36:26

devil
Membre
Inscription : 24-12-2015
Messages : 81

dérivée dans D'

Bonjour,
soit la fonction [tex]f[/tex] définie par
[tex]
f(x)=
\begin{cases}
x^2: &x \leq 0\\
\sqrt{x}+3: & x>0
\end{cases}
[/tex]
La question est de calculer[tex] T'_f[/tex]
On a que [tex]f \in L^1_{loc}(\mathbb{R})[/tex], elle définit donc une distribution je trouve en utilisant l'ipp, que
[tex]<T'_f,\varphi> = 2 \displaystyle\int_{-\infty}^0 x \varphi(x) dx + \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_0^{+\infty} \dfrac{\varphi(x)}{\sqrt{x}} dx
[/tex]
Est-ce que c'est bon? Parce que je lis dans l'indication qu'il faut utiliser la formule de sauts, et moi je ne sais pas quand utiliser la formule des sauts et quand calculer directement la dérivée de la distribution.
Je vous remercie par avance pour votre aide.

Dernière modification par devil (31-01-2016 16:37:09)

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#2 31-01-2016 17:41:09

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 1 552

Re : dérivée dans D'

Bonsoir devil,

Il me semble que tu as oublié les termes de bord lors des  deux intégrations par parties... ces termes doivent correspondre à ce que tu appelles "formule des sauts").

Roro.

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#3 31-01-2016 17:55:40

devil
Membre
Inscription : 24-12-2015
Messages : 81

Re : dérivée dans D'

Bonsoir Roro,
s'il te plaît d'où viennent les termes de bord? en +\infty c'est nul. C'est de 0 que vous parlez? Et comment on sait qu'on doit les ajouter?

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#4 31-01-2016 19:46:13

devil
Membre
Inscription : 24-12-2015
Messages : 81

Re : dérivée dans D'

on trouve ceci
[tex]<T'_f,\varphi> = 2 \displaystyle\int_{-\infty}^0 x \varphi(x) dx + \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_0^{+\infty} \dfrac{\varphi(x)}{\sqrt{x}} dx + 3 \varphi(0)
[/tex]
J'ai deux questions s'il vous plaît
1. Quelle est alors la valeur de[tex] T'_f[/tex]?
2. Ici je n'ai pas utilisé la formule des sauts. Quand est ce qu'il faut l'utiliser? S'il vous plaît.
Je vous remercie par avance.

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#5 31-01-2016 20:13:15

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : dérivée dans D'

Moi, la formule des sauts, je l'applique quand on est dans les hypothèses pour l'appliquer. Donc j'ouvre mon cours, et je regarde :
Si [tex]f[/tex] est [tex]C^1[/tex] par morceaux et qu'elle a des discontinuités en [tex]a_1,\dots,a_p[/tex], alors
[tex](T_f)'=...[/tex]

Ca tombe bien, ici j'ai une fonction [tex]C^1[/tex] par morceaux!!!!

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#6 31-01-2016 21:22:30

devil
Membre
Inscription : 24-12-2015
Messages : 81

Re : dérivée dans D'

Et s'il vous plaît, avec le resultat que j'ai trouvé dans mon précédent post, que vaut T' dans D'?

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#7 31-01-2016 21:43:59

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : dérivée dans D'

Je ne comprends pas ta question. Dans le post #4, tu as donné la valeur de T'. Ce n'est pas la distribution associée à une fonction.

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#8 31-01-2016 21:48:29

devil
Membre
Inscription : 24-12-2015
Messages : 81

Re : dérivée dans D'

Vous voulez dire que T' que j'ai trouvé n'est pas associé à une fonction L^1_{loc}, c'est bien ca? donc on ne peut pas dire que T', on dit qu'elle vaut [tex]2x[/tex] sur [tex][-\infty,0[,[/tex] [tex]\dfrac{1}{2 \sqrt{x}}[/tex] sur [tex]]0,+\infty[[/tex] et [tex]3 \varphi(0)[/tex] en x=0?

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#9 31-01-2016 21:52:17

Fred
Administrateur
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Messages : 7 035

Re : dérivée dans D'

Non, on ne peut pas dire cela. Ca voudrait dire quoi qu'elle vaut [tex]3\varphi(0)[/tex] en x=0.
[tex]\varphi[/tex] n'est pas une fonction fixée, c'est n'importe quelle fonction test.

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#10 31-01-2016 22:05:58

devil
Membre
Inscription : 24-12-2015
Messages : 81

Re : dérivée dans D'

Donc c'est à cause de la présence de [tex]3 \varphi(0)[/tex] que l'on ne peut pas dire ca, c'est ca?
S'il n' y avait pas [tex]3 \varphi(0)[/tex], on aurait pu dire ca, vous êtes d'accord?

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#11 31-01-2016 22:07:00

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : dérivée dans D'

Oui.

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#12 31-01-2016 22:10:50

devil
Membre
Inscription : 24-12-2015
Messages : 81

Re : dérivée dans D'

Merci beaucoup Fred!

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#13 08-02-2016 11:57:28

flore0
Invité

Re : dérivée dans D'

bonjour s'il vous plait je voulais savoir la derivé de arcsinus b/a

#14 08-02-2016 12:33:12

Ostap Bender
Membre
Inscription : 23-12-2015
Messages : 242

Re : dérivée dans D'

Bonjour Flore.

Est-ce une bonne idée de détourner un fil pour poser une question dont la réponse n'est pas très difficile à trouver soi-même ?

Ostap Bender

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#15 08-02-2016 13:59:45

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 948

Re : dérivée dans D'

Bonjour flore0,

Tu t'es bien trop précipitée : ton post n'a aucun rapport avec cette discussion et n'a donc rien à faire ici.
Tu aurais dû ouvrir ta propre discussion.

Ensuite, ton Arcsin a/b c'est : [tex]\arcsin\left(\frac a b\right)[/tex] ?
a et b sont-elles des inconnues ? des constantes ? une constante et une inconnue (laquelle ?)

En attendant [tex](\arcsin x)'= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}[/tex]

De façon plus générale, soit une fonction composée h h(x) = f \circ u)(x)

[tex](f\circ u)'(x)=(f'\circ u)(x)\times u'(x)[/tex]

Veux-tu bien ouvrir ta propre duscussion, s'il te plaît...

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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