Forum de mathématiques - Bibm@th.net

devil

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question 2

Bonjour,
soit [tex]K[/tex] un compact de [tex]\mathbb{R}^n[/tex], et soit [tex]\psi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^n)[/tex]. La question est de savoir si les deux implication suivantes sont vraies:
[tex]\psi=0[/tex] au voisinage de [tex]K[/tex] implique que le support de [tex]\psi[/tex] est inclus dans le complémentaire de [tex]K[/tex] dans [tex]\mathbb{R}^n[/tex]

[tex]\psi=0[/tex] sur [tex]K[/tex] implique que  le support de [tex]\psi[/tex] est inclus dans le complémentaire de [tex]K[/tex] dans [tex]\mathbb{R}^n[/tex]

Comment construire un exemple par lequel on peut voir si les implications ci-dessus sont vérifiées u non?
Je vous remercie par avance pour votre aide.

Fred

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Re : question 2

Salut,

  D'abord, un exemple ne peut pas te démontrer que les implications ci-dessus sont vérifiées.
Il peut te fournir un contre-exemple, donc démontrer que l'une des implications n'est pas vérifiée. Mais pour démontrer que les implications sont vérifiées, il te faut une démonstration.

Le point le plus facile est le second. L'implication est fausse. On peut donc le prouver à partir d'un exemple.
Je vais même te dire que (presque) n'importe quelle fonction test peut donner un contre-exemple. Donne-moi donc un exemple de fonction test, et donne son support, et si tu n'y arrives pas seul, je t'aiderai à fabriquer [tex]K[/tex].

F.

devil

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Re : question 2

Par exemple, la fonction
[tex]\varphi(x)=exp(1/(1-|x|^2)): |x|<1, 0: si |x|\geq 1[/tex] est une fonction test et son support est [tex][-1,1][/tex].
Je vous remercie de m'aider pour la suite.

Fred

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Re : question 2

Alors, donne moi un compact K très simple (un point...) tel que [tex]\varphi[/tex] s'annule sur K, et pourtant K est dans le support de la fonction.

devil

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Re : question 2

[tex]K=\{1\}[/tex]?

Fred

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Re : question 2

Par exemple.

devil

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Re : question 2

comment vous avez su que le 2 est faux s'il vous plaît? et comment montrer que le 1 est correcte?
Je vous remercie par avance pour votre aide.

Fred

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Re : question 2

Pour 1. je commencerai par écrire précisément ce que cela signifie que [tex]\psi[/tex] est nulle au voisinage de [tex]K[/tex].

devil

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Re : question 2

Bonsoir,
pouvez vous me proposer un exemple d'exercice du même style que celui de mon premier post? S'il vous plaît.
Je vous remercie par avance.

devil

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Re : question 2

Bonjour,
pour montrer le point1. 
[tex]\psi=0[/tex] au voisinage de K veut dire qu'il existe un ouvert [tex]O[/tex] tel que [tex]K \subset O \subset V [/tex] tel que pour tout[tex] x \in V: \psi(x)=0[/tex]
ce qui implique que [tex]K \subset C_{\mathbb{R}^n} Supp \psi[/tex], et qui implique donc que [tex]Supp \psi \subset C_{\mathbb{R}^n} K[/tex].
C'est correct?
Je vous remercie par avance pour votre aide.

Fred

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Re : question 2

Je pense que oui.