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#26 20-12-2015 16:16:44

freddy
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Re : abri

Salut,

Olala, on s'engage dans les steppes arides de la Toundra truffées de pièges logiques qui transforment la plus belle lumière en l'ombre la plus noire.
Inspire toi de la devise de yoshi sama : "La roche tarpéïenne est proche du Capitole".

En plus, tu m'envoies Terces (le pauvre, il n'y est pour rien) en remarque, genre "on est une majorité à dire la même chose, donc tu te trompes puisque tu ne dis pas ce que dit la majorité", j'avoue que j'adore ce type d'argument frappé au coin du bon sens scientifique ... Heureusement que Kepler ne l'entendait pas de cette oreille, nous serions sinon passé à côté d'une grande révolution :-)

Je ne sais pas où tu as fait tes humanités en mathématiques, statistiques & probabilités, mais confondre disjonction et indépendance me fait un peu froid dans le dos.

La tableau ci-dessous donne la matrice à double entrée de ton problème de proba, avec des notations évidentes (i désigne le genre, j désigne le lieu) :

[tex]\begin{pmatrix} Prob(i,j) &  B & M & \Sigma (j) \\ H & \frac{1}{4} & \frac{5}{24} & \frac{11}{24}\\ F &  \frac{3}{8} & \frac{1}{6} & \frac{13}{24}\\ \Sigma (i) & \frac{5}{8} & \frac{3}{8} & 1 \end{pmatrix}[/tex]

Je te laisse méditer et te propose un petit test statistique aux fins de vérification : construis un procédé aléatoire qui consiste à générer le tirage au sort de manière uniforme d'un des deux lieux, soit B avec une proba égale à 5/8, et M avec une proba égale à 3/8, puis le sexe (ou genre) de la personne de ce lieu, donc H avec une proba égale à 2/5 si le premier tirage a donne B et 5/9 si c'est M, et F avec une proba égale à 3/5 si B et 4/9 si M.
C'est assez facile à coder.

Compte ensuite le nombre de cas où ta question est vérifiée (savoir deux personnes de genre et de lieu distincts) après au moins 100, voire 1.000 ou 10.000 tirages, rapporte ce nombre au nombre de tirages effectués et regarde le résultat.


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#27 21-12-2015 18:03:10

sotsirave
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Re : abri

Bonjour Terces

réponse

Je rappelle les probabilités :

BG est l’évènement : célibataire biennois (et garçon) :
    BF est l’évènement : célibataire biennois (et fille) :
    Idem, MG et MF pour les célibataires de Mal.
    On a :

          p(BG) = (5/8)*(2/5)=1/4       
          p(BF) = (5/8)*(3/5)= 3/8
          p(MG) = (3/8)*(5/9) = 5/24
          p(MF) = (3/8)*(4/9) = 1/6   

Soit E = { BG,BF,MG,MF}. On considère l’univers U =E² de 16 couples  . Dans cette 1ère question , les événements :« x est célibataire » et « y est célibataire » sont supposés indépendants .
Chacun des 16 éléments de U a une probabilité que l’on peut calculer et on vérifie : Pr(U) =1
On peut ainsi calculer la probabilité de l’événement D : les deux célibataires habitent chacun(e) dans une ville différente.
D ={ (BG,MG) ; (MG,BG) ;(BG,MF) ;(MF,BG) ; …} soit en tout 8 couples.
Pr(D) = 5/48 + 1/12 + 5/32 + 1/8 = 15/32 : c’est ton résultat.
De même, on peut calculer la probabilité de l’événement  S : les deux célibataires sont de sexes différents :
S = {(BG,BF) ;(BG,MF) ;…} soit 8 couples.
Pr(S) = 3/16 + 1/12 + 5/32 + 5/72 = 143/288
Ce n’est pas ton résultat car tu as oublié de compter les G et F d’une même ville.
Par ailleurs tu écris que Pr(D [tex]\cap[/tex]  S) = Pr(D)*Pr(S) alors que les événements D et S ne sont pas indépendants ! en effet ;
(15/32)*(143/288)[tex]\ne[/tex]  23/96
Par hasard ( !), tu obtiens le bon résultat…

La 2ieme question doit te permettre de voir que le résultat 23/96 n’est qu’une approximation.

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#28 21-12-2015 20:07:01

Terces
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Re : abri

sotsirave a écrit :

Bonjour Terces

réponse

Je rappelle les probabilités :

BG est l’évènement : célibataire biennois (et garçon) :
    BF est l’évènement : célibataire biennois (et fille) :
    Idem, MG et MF pour les célibataires de Mal.
    On a :

          p(BG) = (5/8)*(2/5)=1/4       
          p(BF) = (5/8)*(3/5)= 3/8
          p(MG) = (3/8)*(5/9) = 5/24
          p(MF) = (3/8)*(4/9) = 1/6   

Soit E = { BG,BF,MG,MF}. On considère l’univers U =E² de 16 couples  . Dans cette 1ère question , les événements :« x est célibataire » et « y est célibataire » sont supposés indépendants .
Chacun des 16 éléments de U a une probabilité que l’on peut calculer et on vérifie : Pr(U) =1
On peut ainsi calculer la probabilité de l’événement D : les deux célibataires habitent chacun(e) dans une ville différente.
D ={ (BG,MG) ; (MG,BG) ;(BG,MF) ;(MF,BG) ; …} soit en tout 8 couples.
Pr(D) = 5/48 + 1/12 + 5/32 + 1/8 = 15/32 : c’est ton résultat.
De même, on peut calculer la probabilité de l’événement  S : les deux célibataires sont de sexes différents :
S = {(BG,BF) ;(BG,MF) ;…} soit 8 couples.
Pr(S) = 3/16 + 1/12 + 5/32 + 5/72 = 143/288
Ce n’est pas ton résultat car tu as oublié de compter les G et F d’une même ville.
Par ailleurs tu écris que Pr(D [tex]\cap[/tex]  S) = Pr(D)*Pr(S) alors que les événements D et S ne sont pas indépendants ! en effet ;
(15/32)*(143/288)[tex]\ne[/tex]  23/96
Par hasard ( !), tu obtiens le bon résultat…

La 2ieme question doit te permettre de voir que le résultat 23/96 n’est qu’une approximation.

Salut,
Je vais réfléchir à tous ca un jour mais pour le moment j'ai le projet de maths qui m'énerve, je pensais que ma conjecture était parfaite avant que mes espoirs se brisent :( j'espère que je vais trouver un truc assez bien.


La somme des inverses de la suite de Sylvester converge vers 1 plus vite que toute autre série somme infinie d'inverses d'entiers convergeant vers 1.

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#29 22-12-2015 07:49:00

freddy
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Re : abri

Salut,

je m'enduis la tête de cendre et fait amende honorable, il y a en effet un facteur deux. C'est en codant mon test que j'ai fini par briser mon obstacle épistémologique :-)

J'aurais dû considérer, comme suggéré par sotsirave, le couple ordonné donnant le résultat du premier tirage dans l'ensemble des possibles {HB, HM, FB, FM} et du second tirage dans le même ensemble.

En prenant la fonction génératrice, ce que j'aurais dû faire, la loi de proba apparaît assez vite.

Bon désolé et pardon, la proba vaut en effet [tex]2\times \frac{23}{192}=\frac{23}{96}[/tex]

Il est peut-être temps que je me range des voitures ... :-)


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#30 22-12-2015 11:10:27

Terces
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Re : abri

freddy a écrit :

Il est peut-être temps que je me range des voitures ... :-)

Re, ca veut dire quoi "ranger des voitures" ?


La somme des inverses de la suite de Sylvester converge vers 1 plus vite que toute autre série somme infinie d'inverses d'entiers convergeant vers 1.

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#31 22-12-2015 14:32:07

freddy
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Re : abri

Re,

se mettre en retrait, ne plus rien faire, et attendre patiemment la fin :-)


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#32 24-12-2015 00:43:16

sotsirave
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Re : abri

Bonjour Freddy

Ne t'inquiète pas, mon papy, ex prof de maths, a hésité comme toi sur cette probabilité et pourtant, il est encore capable de m'aider dans des problèmes plus ardus de topologie, de variétés et d'intégration de fonctions holomorphe. Tu as encore de beaux jours devant toi

se mettre en retrait, ne plus rien faire, et attendre patiemment la fin :-)

Je préfère cette note d'humour...





.

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#33 24-12-2015 09:03:33

freddy
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Re : abri

Bonjour l'ami !

Tu es gentil. je ne sais pas l'âge que tu as, moi, j'ai celui effectivement d'être grand-père :-)
Ce qui m'agace dans ce sujet est que la solution ne s'impose toujours pas dans mon esprit, j'en reviens toujours à la première solution. Je n'arrive pas (encore) à me dire qu'il s'agit d'une expérience aléatoire qui consiste à répéter deux fois la même expérience qui consiste à choisir, au hasard et selon une loi bien définie, un individu dans la population considérée.
Comme tu l'as fait, ça passe par la construction de l'univers de référence de la première expérience et de "voir" que l'univers du second est le produit cartésien du premier, ce que je n'ai pas voulu faire ... puisque je ne voulais pas le "voir". Ah la la, il faut que je veille à maintenir en état ma plasticité cérébrale :-)

Noyeux Joël !


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#34 24-12-2015 18:12:43

freddy
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Re : abri

Re,

voilà comment j'aurais dû m'y prendre.

Je désigne [tex]X_{i,j}[/tex] et [tex]p_{i,j}[/tex] la valeur de la v.a "individu du genre i provenant de la ville j" et sa probabilité associée. La matrice du post #26.

Je forme la fonction génératrice de la distribution, soit [tex]G_L(X)= \sum_{i,j} p_{i,j}\times X_{i,j}[/tex]
La distribution de la loi du couple est donnée par :
[tex]G_L(X)^2 = \left(\sum_{i,j} p_{i,j}\times X_{i,j}\right)^2 = \sum_{i,j} \left(p_{i,j}\times X_{i,j}\right)^2 +2\times p_{1,1}\times X_{1,1}\times (p_{1,2}X_{1,2} +p_{2,1}\times X_{2,1} +p_{2,2}\times X_{2,2}) [/tex]
[tex]+2\times p_{1,2}\times X_{1,2}\times (p_{2,1}\times X_{2,1} +p_{2,2}\times X_{2,2})+2\times p_{2,1}\times X_{2,1}\times p_{2,2}\times X_{2,2} [/tex]

et on ne s'intéresse qu'à [tex]i=j=1[/tex] et [tex]i=j=2[/tex] ou bien [tex]i=1, j=2[/tex] et [tex]i=2, j=1[/tex]

Dernière modification par freddy (25-12-2015 11:56:52)


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#35 26-12-2015 01:57:12

sotsirave
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Re : abri

Bonjour Freddy

ça me parait complexe, mais il suffit de résoudre la seconde question pour retrouver la première.

Joyeux Noël

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#36 26-12-2015 23:00:06

freddy
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Re : abri

Salut,

complexe, non, mais un peu technique, oui, car on parle de tirages sans remise, alors qu'un début, il y a remise, comme montré dans ce qui suit, qui montre par ailleurs qu'il eût fallu passer tout d'abord par la seconde question pour résoudre la première.
Passons donc à la seconde question.
Je reprends mon tableau, en fixant l'effectif de la population selon l'entier naturel [tex]n \equiv 0 \bmod 24[/tex] pour ne pas avoir des fractions d'individus :-).

[tex]\begin{pmatrix} N(i,j) &  B & M & \Sigma (j) \\ H & \frac{n}{4} & \frac{5n}{24} & \frac{11n}{24}\\ F &  \frac{3n}{8} & \frac{1n}{6} & \frac{13n}{24}\\ \Sigma (i) & \frac{5n}{8} & \frac{3n}{8} & n \end{pmatrix}[/tex]

Sous cette hypothèse, le nombre de cas possibles est égal à [tex]\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}[/tex] et la probabilité [tex]P(n)[/tex] de l'événement recherché est égale à :

[tex]P(n)=\frac{\binom{\frac{n}{4}}{1}\times \binom{\frac{n}{6}}{1}+\binom{\frac{3n}{8}}{1}\times \binom{\frac{5n}{24}}{1}}{\binom{n}{2}}=2\times \frac{\frac{n^2}{24}+\frac{5n^2}{64}}{n(n-1)}[/tex]

De fait, le "fois 2" tombe comme un fruit mûr, sans avoir à le chercher plus avant.

Ensuite, on a [tex]\lim_{n \to +\infty} P(n)=\frac{1}{12}+\frac{5}{32}=\frac{23}{96}[/tex]


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#37 31-12-2015 01:41:41

sotsirave
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Re : abri

Bonsoir

On est d'accord maintenant.

On apparie les célibataires.

Si on désigne par n le nombre de célibataires des deux villages, on montre facilement que :

Il existe k tel que n = 24k, k naturel non nul.
   les cas possibles C24k,2 = 24K(24k-1)/2= 12k(24k -1). Les cas favorables : (24k² + 45k²) = 69k² .

La probabilité : Pr(X)  = 23k/4(24k - 1)

Pr est une suite strictement décroissante de 0,25 à 23/96 (quand  [tex] {k\to\infty}[/tex]).
On voit donc que la réponse 23/96 (environ 24%) à la première question est un cas limite de la probabilité et en plus, est une «très bonne » approximation à 1% par défaut quelle que soit la population de ces célibataires.
En somme, plus la population est grande, meilleure est la méthode de la 1ère question.

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