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#1 27-11-2015 19:15:53

Anonyme007
Invité

Anneau factoriel.

Bonsoir à tous,

Il y'a un théorème dans mon cours, que, je n'arrive pas à comprendre, le voici :

Théorème :

Soit [tex]A[/tex] un anneau intègre noethérien. Si tout élément irréductible de [tex]A[/tex] engendre un idéal premier, l’anneau [tex]A[/tex] est factoriel.

Démonstration :

Il suffit de de montrer que tout élément de [tex]A[/tex] est produit d’irréductibles.
Remarquons d’abord que si [tex]aA = a' A[/tex], alors a est produit d’irréductibles si et seulement si a est produit d’irréductibles.
On peut donc considérer l’ensemble des idéaux principaux [tex]aA[/tex] de [tex]A[/tex] tels que a n’est pas produit d’irréductibles. Si cet ensemble est non vide, soit [tex]cA[/tex] un élément maximal de cet ensemble. Si [tex]c[/tex] n’est pas irréductible, alors il existe des éléments non inversibles [tex]e \in A[/tex] et [tex]f \in A[/tex] tels que [tex]c = ef[/tex]. Comme [tex]cA[/tex] est strictement contenu dans [tex]eA[/tex] et [tex]fA[/tex], les éléments [tex]e[/tex] et [tex]f[/tex] sont produits d’irréductibles et [tex]c[/tex] aussi, ce qui est une contradiction. Donc [tex]c[/tex] est irréductible, mais c’est encore une contradiction. Le Théorème est démontré.

Questions :

- Est ce que la phrase qui fait l'objet du théorème :
Soit [tex]A[/tex] un anneau intègre noethérien. Si tout élément irréductible de [tex]A[/tex] engendre un idéal premier, l’anneau [tex]A[/tex] est factoriel.
peut être retraduite d'une autre manière simple en disant tout simplement :
Soit [tex]A[/tex] un anneau intègre noethérien. Si tout idéal premier est principal, l’anneau [tex]A[/tex] est factoriel.
?

- Pourquoi démontrer le théorème revient à démontrer que : tout élément de [tex]A[/tex] est produit d’irréductibles ?.


Merci d'avance.

#2 27-11-2015 19:25:48

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Anneau factoriel.

Bonjour,

  J'avoue ne pas comprendre moi non plus. Dans un anneau intègre noethérien, tout élément est produit d'irréductibles, alors je ne comprends pas pourquoi il suffit de prouver que tout élément de [tex]A[/tex] est produit d'irréductibles. J'ai plutôt l'impression qu'il suffit de démontrer que la décomposition est unique...

Je te conseille de lire la page wikipedia consacrée aux anneaux factoriels : https://fr.wikipedia.org/wiki/Anneau_factoriel
en particulier, le paragraphe "Premières propriétés" et son deuxième point. Il y est (plutôt clairement) démontré ton résultat...

F.

Hors ligne

#3 27-11-2015 19:49:18

Anonyme007
Invité

Re : Anneau factoriel.

Salut Fred ( ... et merci pour ton aide ... .  :-D )

Voici où se trouve le théorème : https://perso.univ-rennes1.fr/matthieu. … ouquin.pdf , page : 27

Cordialement.

#4 27-11-2015 23:05:51

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Anneau factoriel.

Re-

  On ne pouvait effectivement pas répondre sans connaitre la référence. Dans le document que tu cites, un anneau factoriel n'est pas défini comme on le fait usuellement. Il est défini (p15) par :

Un anneau intègre A est dit factoriel si
(i) pour tout élément irréductible a de A l’idéal aA est premier,
(ii) tout élément non inversible de A est produit d’éléments irréductibles.

Donc il suffit bien de démontrer que tout élément non inversible de A est produit d'éléments irréductibles.

F.

Hors ligne

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