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#1 24-11-2015 21:45:27
- vrouvrou
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Exercice de topologie
Bonsoir,
J'ai cet exercice: Soit [tex]a_n[/tex] une suite de [tex]\mathbb{R}_+[/tex] strictement croissante et bornée supérieurement, posons [tex]A=\{a_0,a_1,\ldots, \sup_{n\geq0}a_n\}[/tex]
1- Montrer que A est un fermé et que [tex]\sup_{n\geq0}a_n \in \overline{A}[/tex]
Pour répondre à cette question je me suis dit que [tex]A[/tex] est fini dans un espace séparé alors il est fermé et que comme [tex]A\subset \overline{A}[/tex] on a [tex]\sup_{n\geq0}a_n \in \overline{A}[/tex]
2. Montrer que A est compact
A fermé et borné alors il est compact ?
3. Posons [tex]B=\{x\in \mathbb{R}, x=\frac{n}{n+1}, n\in \mathbb{N}\}[/tex]
Calculer [tex]\overline{B}, \overset{\circ}{B}[/tex], [tex]B'[/tex] et [tex]Fr(B)[/tex]
Je ne sais pas comment répondre à la 3éme question .
Merci de m'aider.
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#2 24-11-2015 21:55:58
- Fred
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Re : Exercice de topologie
Salut,
1. Non... A n'est pas fini puisqu'il contient toutes les valeurs de la suite et que toutes ces valeurs sont distinctes.
Pour répondre à cette question, j'utiliserais deux arguments :
a) une suite croissante et majorée converge vers sa borne supérieure;
b) démontrer que A est compact en utilisant la propriété de Borel-Lebesgue (si tu la connais...)
2. Oui.
3. Fais un dessin pour représenter B. Tu devrais facilement voir que l'adhérence de B est constituée de B et d'un autre point.
F.
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#3 24-11-2015 22:08:49
- vrouvrou
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Re : Exercice de topologie
Ah donc A contient la limite de sa suite donc il est fermé c'est ça ?
mais je ne comprend pas pour quoi on montre que A est compact pour répondre à la première question ? c'est pour la 2éme !
Pour [tex]\overline{B} =B\cup\{1\}[/tex] où [tex]1=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n}{n+1}[/tex].
Borel-Lebesgue: de tout recouvrement on peut extraire un sous recouvrement finie mais je ne sais pas comment ?
Merci.
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#4 24-11-2015 22:14:33
- Fred
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Re : Exercice de topologie
Re-
Ou bien tu sais que l'ensemble constitué d'une suite et de sa limite est un fermé, et tu peux conclure. Ou bien tu ne le sais pas, et il faut le redémontrer. Pour cela, le plus facile est d'utiliser la propriété de Borel-Lebesgue (voir les détails).
F.
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#5 24-11-2015 22:52:10
- vrouvrou
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Re : Exercice de topologie
D'accord j'ai compris.
Donc A est compacte aussi parceque c'est l'union de la suite avec la limite ? c'est juste de dire que fermé+borné donne compacte ?
Pour [tex]\overset{\circ}{B}=\emptyset[/tex], car [tex]B[/tex] ne contient pas un ouvert [tex]]0,x+\varepsilon[[/tex] contenant [tex]x=\frac{n}{n+1}>0[/tex]
mais je me pose une question si [tex]x=0[/tex] quel est l'ouvert contenant [tex]0[/tex] par rapport à la topologie usuelle sur [tex]\mathbb{R}_+[/tex] ?
[tex]B'=\{1\}[/tex] la limite de la suite ?
Merci
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#6 24-11-2015 23:16:37
- Fred
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Re : Exercice de topologie
Donc A est compacte aussi parceque c'est l'union de la suite avec la limite ? c'est juste de dire que fermé+borné donne compacte ?
Oui et oui.
Pour [tex]\overset{\circ}{B}=\emptyset[/tex], car [tex]B[/tex] ne contient pas un ouvert [tex]]0,x+\varepsilon[[/tex] contenant [tex]x=\frac{n}{n+1}>0[/tex]
Presque. B ne contient aucun ouvert du type [tex] ]x-\varepsilon,x+\varepsilon[ [/tex] pour x un élément de la suite ou x=1.
mais je me pose une question si [tex]x=0[/tex] quel est l'ouvert contenant [tex]0[/tex] par rapport à la topologie usuelle sur [tex]\mathbb{R}_+[/tex] ?
Ce sont les intersections des ouverts de [tex]\mathbb R[/tex] avec [tex]\mathbb R_+ [/tex]. Donc typiquement les intervalles semi-ouverts [0,a[.
[tex]B'=\{1\}[/tex] la limite de la suite ?
Si B' désigne bien l'ensemble des points d'accumulation, oui.
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#7 24-11-2015 23:25:26
- vrouvrou
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Re : Exercice de topologie
pourquoi [tex]]x-\varepsilon,x+\varepsilon[[/tex] puisqu'on est sur [tex]\mathbb{R}_+[/tex] , s'il vous plait ?
on a toujours que l'ensemble de point d'accumulation d'un ensemble défini par une suite est réduit à la limite de la suite ?
Dernière modification par vrouvrou (24-11-2015 23:26:19)
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#8 24-11-2015 23:56:44
- Fred
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Re : Exercice de topologie
D'abord, on ne te dit pas dans ton énoncé qu'on travaille avec la topologie de [tex]\mathbb R_+[/tex], même si de toute façon cela ne changerait rien. Ensuite, dire que B est d'intérieur vide, c'est dire que pour tout élément x de B, il y a un voisinage de x qui n'est pas inclus dans B. Et un voisinage de x, c'est plutôt de la forme [tex] ]x-\varepsilon,x+\varepsilon[ [/tex] non?
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#9 25-11-2015 14:51:34
- vrouvrou
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Re : Exercice de topologie
oui dans [tex](\mathbb{R},|.|)[/tex] pas dans [tex](\mathbb{R}_+,|.|_{\mathbb{R}_+})[/tex]
dans [tex](\mathbb{R}_+,|.|_{\mathbb{R}_+})[/tex] c'est [tex][0,x+\varepsilon[ (=[0+\infty[\cap ]x-\varepsilon,x+\varepsilon[)[/tex] non?
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#11 25-11-2015 18:23:10
- vrouvrou
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Re : Exercice de topologie
Oui 'est vrai si c'est juste uniquement dans le cas ou [tex]x-\varepsilon<0[/tex] , je ne sais plus comment définir les ouverts de [tex]\mathbb{R}_+[/tex], il faut peut etre distinguer 2 cas [tex]x-\varepsilon<0[/tex] et [tex]x-\varepsilon\geq 0[/tex]
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#13 25-11-2015 23:17:34
- vrouvrou
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Re : Exercice de topologie
donc si [tex]x<\varepsilon[/tex] un ouvert contenant[tex] x[/tex] est la forme [tex][0,+\infty[[/tex] et si [tex]x\geq \varepsilon[/tex] alors l'ouvert est [tex]]x-\varepsilon,x+\varepsilon[[/tex] c'est ça ?
Mais [tex]\varepsilon[/tex] est quelconque je suis perdue >_<
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#14 26-11-2015 11:46:36
- Fred
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Re : Exercice de topologie
Je pense que tu te nois dans un verre d'eau.
Pour montrer que [tex]B[/tex] n'a pas d'intérieur, tu dois montrer que, quelque soit [tex]x\in B[/tex], tout ouvert contenant [tex]x[/tex] contient des points qui ne sont pas dans [tex]B[/tex]. Ces ouverts sont
* ou bien de la forme [tex] [0,x+\varepsilon[ [/tex]
* ou bien de la forme [tex] ]x-\varepsilon,x+\varepsilon [/tex]
Dans les deux cas, ils contiennent des points qui ne sont pas dans B.
Fred.
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