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#1 19-11-2015 21:26:14

Sofi
Invité

appli linéaire vecteurs et valeurs propres

Bonsoir,

Voici mon énoncé :

Soit f l'application linéaire pour laquelle v1 = ( 3,1 ) est un vecteur propre de valeur propre 1 et v2 = ( 2,1 ) est un vecteur propre de valeur propre −1.
4) Écrire le vecteur w⃗ = f ( 5,2 ).
5) Écrire la matrice qui représente f par rapport à la base canonique de R2.
6) L'application linéaire f est-elle diagonalisable ?


Pour la question 4)  J'ai trouvé : w=1v1+(-1)v2
                                                       = (1,0)

Pour la question 5) La base canonique de R2 e1=(1,0) et e2=(0,1)

Apres ça je ne sait pas trop quoi faire...je me retrouve avec une matrice
   1   0
   0   1
Mais je ne suis vraiment pas sure de cela...surtout qu'après on me demande si l'application est diagonalisable...

Pouvez m'éclairer la dessus...

Merci pour votre aide

#2 19-11-2015 22:33:19

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
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Re : appli linéaire vecteurs et valeurs propres

Salut,

  Pour la question 5, tu dois chercher aussi ce que valent f(e1) et f(e2)...en fonction de e1 et de e2.
Une méthode possible : tu exprimes e1 en fonction de v1 et v2, tu appliques f, et tu retournes à une expression en fonction de e1 et e2.

Pour la question 6, il suffit que tu trouves une base de vecteurs propres pour f. Or, il y en a une qui saute aux yeux!!!

Fred.

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#3 20-11-2015 13:43:08

Sof
Membre
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Re : appli linéaire vecteurs et valeurs propres

Bonjour et merci pour ta réponse Fred !

je calcule d'abord e1=av1+bv2   ce qui me donne a1=1 at a2=-1
et donc, f(e1)=f(e1)-f(e2) et ma première colonne est

1 et -1

je fais pareil pour e2, et après tous mes calculs j'obtiens la matrice :

                   1   -2
                   -1   3

j'espère avoir visé juste...et merci encore...

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#4 20-11-2015 13:49:26

Fred
Administrateur
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Re : appli linéaire vecteurs et valeurs propres

Euh... je ne suis pas sur que tu aies visé juste!
e1=v1-v2
donc f(e1)=f(v1)-f(v2)=v1+v2=(5,2)=5e1+2e2 et la première colonne est 5 ...2.

F.

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#5 20-11-2015 13:53:09

Sof
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Re : appli linéaire vecteurs et valeurs propres

oh...Mince..., je vais voir ça alors

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#6 20-11-2015 17:21:03

Sof
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Re : appli linéaire vecteurs et valeurs propres

Fred...voila ou j'en suis...

e1=v1-v2,   f(e1)=f(v1)-f(v2)
e2=-2v1+3v2,  f(e2)=2f(v1)+3f(v2)

en gros, si ce que j'ai fait est juste, j'exprime donc e1 et e2 en fonction de v1 et v2. Maintenant, si comprend bien, le but est d'exprimer e1 et e2 en fonction d'e1 et e2...mais je ne  comprend pas comment on retourne à une expression en fonction de e1 et e2.

Je suis certaine que c'est pas compliqué... et tu dois me prendre pour une idiote mais j'ai la tête un peu en vrac alors merci pour ta patience...

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#7 20-11-2015 17:45:01

Sof
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Re : appli linéaire vecteurs et valeurs propres

en attendant...j'ai un peu honte de mon résultat qui est :

f(e1)=5e1-2e2 et f(e2)=-10e1+6e2

et la matrice :
5   -10
-2   6

je suis désespérée...

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#8 20-11-2015 22:30:02

Fred
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Re : appli linéaire vecteurs et valeurs propres

Tout simplement, pour retourner de v1 et v2 à e1 et e2, on a :
v1=(3,1)=3e1+e2
et v2=(2,1)=2e1+e2

d'où f(e2)=2f(v1)+3f(v2)=2v1-3v2=... e1+ ... e2

F.

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#9 21-11-2015 13:35:07

Sof
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Re : appli linéaire vecteurs et valeurs propres

je reprend tout et je ne vois pas comment f(v1)-f(v2)=v1+v2...

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#10 21-11-2015 18:29:25

Fred
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Re : appli linéaire vecteurs et valeurs propres

Que sait-on sur v1 et v2 par rapport à f??????

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#11 21-11-2015 18:30:06

Sof
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Re : appli linéaire vecteurs et valeurs propres

e1 = av1+bv2                                            e2= av1+bv2
     = v1-v2                                                    = 2v1 + 3v2
f(e1)=f(v1) - f(v2)                                     f(e2)=2f(v1)+3f(v2)
        =v1+v2                                                    =2v1-3v2
        =5e1+2e2                                                 =0e1+3e2

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#12 21-11-2015 18:39:43

Sof
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Re : appli linéaire vecteurs et valeurs propres

f(e2)=0e1-e2...

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#13 21-11-2015 18:42:46

Fred
Administrateur
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Re : appli linéaire vecteurs et valeurs propres

Et donc la matrice de f dans (e1,e2) est????

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#14 21-11-2015 18:45:06

Sof
Membre
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Re : appli linéaire vecteurs et valeurs propres

5   O
2   -1

j'espère...

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#15 21-11-2015 19:25:37

Fred
Administrateur
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Re : appli linéaire vecteurs et valeurs propres

Oui!!!!

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#16 21-11-2015 19:32:18

Sof
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Re : appli linéaire vecteurs et valeurs propres

merci !!!!!!

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#17 22-11-2015 11:10:42

Sof
Membre
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Re : appli linéaire vecteurs et valeurs propres

Bonjour Fred...

Apres vérification, il me semble que mon calcul pour e2 n'est pas correct...

Est ce que tu confirmes bien ma réponse ? Ne me suis je pas trompée dans les signes ?

Merci...

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#18 22-11-2015 16:32:18

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : appli linéaire vecteurs et valeurs propres

Effectivement, e2 = -2v1+3v2.
Il ne te reste plus qu'à modifier la suite...

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