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#1 14-01-2007 03:23:06

Arthur75
Membre
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Il y a t'il un ensemble qui appartient à lui même ?

Salut tout le monde,

En relisant le début de la théorie des ensembles, et en particulier le théorême comme quoi il n'y a pas d'ensemble qui contienne tous les ensembles, je me demandais si, étant donné que tous ces paradoxes ou bizarreries sont basés sur des expressions du type "x est dans x" et "x est pas dans x" donc je me demandais si il y avait des cas concrets en maths (par concrets je veux dire dans N, Z, R, C , etc et tous les objets fonctions suites produits cartesiens construit avec cela) d'ensembles tels que "x appartient à x" ?

Perso je n'en vois pas (mais je ne fais plus vraiment de maths depuis un moment)

Donc ce serait quoi un exemple d'ensemble qui appartient à lui même ?

Si, "il n'y a pas d'ensemble qui contienne tous les ensembles" est un théorême de la thérorie des ensembles, quant est t'il des enoncés "il existe un ensemble qui appartient à lui même"  et  "quelque soit x, x n'appartient pas à x" ?

1) Supposons que l'on veuille montrer "il existe un ensemble qui appartient à lui même"

En raisonnant par l'absurde, on prend donc comme hypothèse "quelque soit x un ensemble, x n'appartient pas à lui même", je ne vois pas comment aboutir à une contradiction à partir de là

2) Inversement, supposons que l'on veuille montrer "quelque soit x, x n'appartient pas à lui même"

En raisonnant par l'absurde, on suppose "il existe x qui appartient à lui même",
donc X peut s'écrire X = {X} U Y non ? avec Y le complémentaire de {X} sur X

mais alors Vx € X , on a soit x=X, soit x€Y

Si Y=l'ensemble vide, on a X={X} donc Card(X)=1 c'est quoi un ensemble à 1 élément qui appartient à lui même ?

Si Y est différent de l'ensemble vide, on a "il existe y, y!=X et y€ X"
donc X={X} U {y} U Y2

Si Y2 ensemble vide, X={X,y}, donc Card(X)=2 c'est quoi un ensemble à deux éléments  qui se contient lui même ?

Si Y2 pas ensemble vide, Y3, etc ...

et ainsi de suite ....

Cela m'amène à penser que les entiers devraient commencer à 1 !!
Et que le N que l'ont utilise , est en fait égale à "ensemble vide" union vrai N !
donc au lieu de partir d'un seul élément de base pour définir les entiers, partir de deux : "ensemble vide" et 1


Si vous pouviez m'éclairer ....

Dernière modification par Arthur75 (14-01-2007 03:30:56)

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#2 14-01-2007 10:21:13

yoshi
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Messages : 16 946

Re : Il y a t'il un ensemble qui appartient à lui même ?

Bonjour,



Je ne crois pas qu'il y ait une réponse positive à la question posée...

Ceci dit :
* entre deux ensembles on parle d'inclusion, A est inclus dans B
* entre un élément et un ensemble on parle d'appartenance, 1 appartient à N...
Un élément ne peut pas appartenir (ou ne pas appartenir) à lui même, il est lui-même, il est égal à lui-même...
Tout ensemble est ainsi inclus dans lui-même, on peut le considérer comme une des parties de cet ensemble, la partie "pleine"...

Ou alors, c'est que le vocabulaire a beaucoup changé depuis que je l'ai appris, puis enseigné...

Maintenant, si tu aimes les "bizarreries" en voilà une : l'ensemble des parties d'un ensemble n'est jamais vide car il contient l'ensemble vide...

@+


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#3 14-01-2007 13:55:14

Arthur75
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Messages : 4

Re : Il y a t'il un ensemble qui appartient à lui même ?

yoshi a écrit :

* entre deux ensembles on parle d'inclusion, A est inclus dans B
* entre un élément et un ensemble on parle d'appartenance, 1 appartient à N...

Certes mais il n'en reste pas moins que dans la théorie, ensembles et éléments ne sont pas distingués, ni syntaxiquement, ni de quelque manière que ce soit, c'est ce qui permet d'écrire "x € x" dans des expressions de la théorie. Je crois qu'un moyen de les distinguer est d'introduire une notion de type plus ou moins récursifs (essai de Russell), mais que cela complique et fout plus ou moins tout par terre.

Mais si on suppose "quelque soit x, x n'appartient pas à x", il est alors tout à fait normal et "naturel" qu'il n'y ait pas d'ensemble de tous les ensembles, ceci constituant un cas particulier.

Donc "quelque soit x, x n'appartient pas à x" est il un théorême de la théorie des ensembles ?
La question a bien du déjà être posée non ? :)

Autre bizarerrie, c'est que N étant, dans la théorie des ensembles, construit comme l'ensemble ci dessous, (je note ev l'ensemble vide) :

0= ev
1={ev}
2={ev, {ev}}
3={ev,{ev},{ev,{ev}}}
etc

on a "0 est inclus dans 1", "1 est inclus dans 2", "2 est inclus dans 3", etc , ce qui "sonne" plus comme un artifice de construction que comme des mathématiques "concretes", non ?

Sinon à propos de :
"l'ensemble des parties d'un ensemble n'est jamais vide car il contient l'ensemble vide..."
Oui cela ne me choque pas, d'une certaine manière l'ensemble vide est la solution de l'équation "P(x)={x}", par contre l'ensemble vide lui, n'appartient pas à l'ensemble vide, car sinon il aurait au moins 1 élément ...

Et merci beaucoup pour ta réponse !

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#4 14-01-2007 14:59:46

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 946

Re : Il y a t'il un ensemble qui appartient à lui même ?

Bonjour,

On en apprend tous les jours...
Bon, c'est sûr que si on accepte de "jouer" avec les mots de cette façon, tout devient possible.
Ce qui est en haut est comme ce qui est en bas et réciproquement - Hermès Trismégiste ?
Tout est dans tout et réciproquement - Pierre Dac ?

Plus sérieusement, je laisse à plus compétent et qualifié que moi le soin de continuer la discussion, parce que j'en suis réduit à quia...

Avant d'abandonner (lâchement) le combat, je te donne quelques liens que je viens de relever (et parcourir) :

http://forums.futura-sciences.com/archi … doxes.html

http://spoirier.lautre.net/logique.htm

http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … ssell.html

Tu y trouveras un écho de tes préoccupations

@+


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#5 14-01-2007 16:36:05

Arthur75
Membre
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Messages : 4

Re : Il y a t'il un ensemble qui appartient à lui même ?

Merci beaucoup pour ces liens, je vais regarder  ça a l'air intéressant !

Sinon à propos de "jouer" sur les mots, je ne fais qu'utiliser des expressions exactement comme elles apparaissent dans "Analyse 1" de Laurent Schwartz (isbn 2 70566161 1)

ou "Théorie des ensembles" de N.Bourbaki (isbn 3 540 34034 3) (Dieudonné, Cartan, etc ...)

Plus précisément, L Schwartz ne parle que d'"ensemble(s)" et de "classe(s)" comme termes primitifs (p 23) où il précise en souligné "nous ne définissons pas le mot ensemble", "c'est une notion primitive, comme la droite ou le point de la géométrie élémentaire" . Le terme élément étant lui une facilité de langage dans les énoncés, mais on pourrait toujours utiliser ensemble là où il apparaît, le terme classe est lui introduit (page 29), du fait que l'expression {x : P(x)} ne désigne pas toujours un ensemble (voir ensemble de tous les ensembles par ex), et donc "classe" est introduit comme terme primitif pour parler de "tous les ensembles x satisfaisant P(x)".

Ce qui permet après de parler de la classe des groupes, classe des espaces topologiques, etc.

Notons cependant la note de bas de page 23 :
"* Le mot classe peut être employé soit comme un terme primitif de la théorie, soit comme un substitutif au mot ensemble, collection du langage courant"
Ouais ...

Pour ce qui est de Bourbaki, dans la première page de EII, comme pour Schwartz on ne parle que d'ensemble, le mot élément étant utilisé comme facilité de langage dans certains énoncés, par contre pas encore vu où la notion de classe était introduite.

Dans le fascicule de résultat il est écrit (E.R.1) :
"
1. Un ensemble est formé d'éléments susceptibles de posséder certaines propritétés et d'avoir entre eux, ou avec des éléments d'autres ensembles, certaines relations.
2. Ensembles et éléments sont désignés dans les raisonnements par des symboles graphiques etc ...

Donc là aussi les termes peuvent être considérés comme synonymes.

Enfin bref, j'aimerais bien savoir si "quelque soit x, x n'appartient pas à x", est un théorême de la théorie des ensembles ou pas !

Jusqu'à preuve du contraire cet énoncé est tout à fait formalisable et correct dans cette théorie non ?

Dernière modification par Arthur75 (14-01-2007 16:38:48)

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#6 15-01-2007 13:48:23

moiseti
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Inscription : 25-12-2005
Messages : 43

Re : Il y a t'il un ensemble qui appartient à lui même ?

L'axiome de fondation - L.Schwartz l'appelle, dans "Analyse I", axiome de fondement ou de régularité - interdit qu'un ensemble s'appartienne à lui-même.

Dernière modification par moiseti (15-01-2007 13:49:06)

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#7 17-01-2007 04:14:39

Arthur75
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Messages : 4

Re : Il y a t'il un ensemble qui appartient à lui même ?

moiseti a écrit :

L'axiome de fondation - L.Schwartz l'appelle, dans "Analyse I", axiome de fondement ou de régularité - interdit qu'un ensemble s'appartienne à lui-même.

Ah oui j'avais pas vu !! Merci

Mais il dit aussi : "nous n'insisterons pas sur cet axiome dont nous ne tirons aucune conclusion dans notre exposé. Signalons d'autre part qu'on peut construire une théorie des ensembles qui nie cet axiome" ...

Et plus haut sur la même page "Nous avons déjà remarqué qu'il est difficile de concevoir qu'un objet puisse appartenir à lui même. Ainsi l'ensemble des roses d'un jardin ne pourrait être une rose et l'ensemble des êtres humains n'est pas un être humain"


Cependant si on prend l'exemple des objets informatiques par exemple, rien n'interdit à un dossier unix d'appartenir à lui même, ou à une liste lisp d'appartenir à elle même, de fait la validité de certaines théories dépendent sans doute de leurs champs d'applications, quant aux mathématiques on étudie celle que l'on choisit ....

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#8 12-06-2007 07:06:05

P.MTZ
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Messages : 5

Re : Il y a t'il un ensemble qui appartient à lui même ?

bonjour!
réponse bien tardive.....
Une de mes Prof. de Fac, 1 ère année à DEA, Mme Ehresmann, connue aussi sous son nom de jeune fille  A. Bastiani, nous avez demandés : "Peut-on faire un catalogue des catalogues qui ne se citent pas?". N'est-ce pas un peu le même problème?

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