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jimijims

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Changement de repère

Bonjour,

Après plusieurs recherches sur le net et les livres que j'ai à ma disposition, je n'arrive pas à résoudre cet exercice qui me semble pourtant simple si je comprenais la formule de changement de repère...
Quelqu'un pourrait-il m'expliquer comment fait-on pour passer d'un point [tex]X=(x,y,z)[/tex] d'un repère [tex]\mathcal{R}[/tex], à ses coordonnées [tex]X' = (x',y',z')[/tex] dans un autre repère [tex]\mathcal{R}'[/tex] svp ?

Merci d'avance :)

Jimmy

Fred

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Re : Changement de repère

Bonsoir,

  Est-ce que tu peux nous en dire plus sur tes repères????
Essentiellement, un changement de repère, c'est une translation (pour se ramener au nouveau centre du repère), puis
une application linéaire inversible sur les vecteurs. Mais si tu ne nous donnes pas un exemple plus précis, on risque d'avoir des difficultés.

F.

jimijims

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Re : Changement de repère

Merci de m'avoir répondu :)

Voici ce que je sais sur mes repères : [tex]\mathcal{R}[/tex] est le repère canonique [tex]\mathcal{R} = (0,I,J,K)[/tex].
Le nouveau repère est [tex]\mathcal{R}' = (O',I',J',K')[/tex] avec [tex]O'=(0,0,1), I'=(0,0,0), J' = (1,0,2)[/tex] et [tex]K' = (0,1,1)[/tex].

Fred

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Re : Changement de repère

Re,

  Je vais essayer de t'expliquer le plus clairement possible.
D'abord, pour moi, un repère de l'espace, je préfère le définir par un point et 3 vecteurs. Ton repère initial est
donc [tex](0,\vec i,\vec j,\vec k)[/tex] avec [tex](\vec i,\vec j,\vec k)[/tex] la base canonique de [tex]\mathbb R^3[/tex],
et ton nouveau repère est [tex](O',\vec u,\vec v,\vec w)[/tex] avec [tex]\vec u=\overrightarrow{O'I'}=(0,0,-1)=-\vec k[/tex],
[tex]\vec v=\overrightarrow{O'J'}=(1,0,1)=\vec i+\vec k[/tex] et [tex]\vec w=\overrightarrow{O'K'}=(0,1,0)=\vec j[/tex].

Dire que [tex]M[/tex] a pour coordonnées [tex](x,y,z)[/tex] dans le repère [tex](O,\vec i,\vec j,\vec k)[/tex] signifie que l'on a
[tex]\overrightarrow{OM}=x\vec i+y\vec j+z\vec k[/tex]. Dire que [tex]M[/tex] a pour coordonnées [tex](x',y',z')[/tex] dans le repère [tex](O',\vec u,\vec v,\vec w)[/tex] signifie que l'on a
[tex]\overrightarrow{O'M}=x'\vec u+y'\vec v+z'\vec k[/tex].

Il faut passer de la première écriture à la seconde. Pour cela, on commence par utiliser la relation de Chasles :
[tex]\overrightarrow{O'M}=\overrightarrow{O'O}+\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OO'}+x\vec i+y\vec j+z\vec k[/tex]. Il faut maintenant exprimer [tex]\overrightarrow{O'O},\ \vec i,\ \vec j,\ \vec k[/tex] dans la nouvelle base [tex](\vec u,\vec v,\vec w)[/tex]. Dans le cas présent, c'est plutôt facile. En effet, on a
[tex]\vec j=\vec w[/tex], puis [tex]\vec k=-\vec u[/tex] et donc [tex]\vec i=\vec v-\vec k=\vec u+\vec v[/tex]. Puisque
[tex]\overrightarrow{O'O}=(0,0,-1)=-\vec k=\vec u[/tex], on obtient donc
[tex]\overrightarrow{O'M}=(x-z+1)\vec u+x\vec v+y\vec w.[/tex] Autrement dit, les coordonnées de M dans le nouveau repère sont
[tex](x-z+1,x,y)[/tex]

On peut vérifier que l'on ne s'est pas trompé en vérifiant que les nouvelles coordonnées de I',J' et K' sont respectivement (1,0,0), (0,1,0) et (0,0,1).

jimijims

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Re : Changement de repère

J'ai compris ce que tu m'as expliqué :)
Je vais essayé de l'appliquer avec d'autres repères/d'autres points histoire que ça rentre !
Merci beaucoup