Fonctions

DarwinBakami · 07-10-2015 18:30:27

Salut,

j'ai un problème sur mon exercice de fonctions.
Voici son tableau de variation :
x -1 0 1
f -2 1 0
[-1;0] est croissante
[0;1] est décroissante

"Si -1<= a < b <= 0, comparer f(-a) et f(-b).

Je ne comprends pas pourquoi on dit "comparer f(-a) par exemple alors que l'on parlait de " a tout court avant". Aussi, cet exercice est facile pour moi si il n'y a qu'une seule fonction, là il y'en a deux (croissante et décroissante en plus) du coup c'est compliqué de placer a et b car je ne sais pas sur laquelle de fonctions ils vont.

Si quelqu'un peut m'aider, merci à lui (et j'ai encore deux autres questions compliqués dans le même exercice).

yoshi · 07-10-2015 20:07:36

Bonsoir,

Pourrais-tu dire si oui ou non, les réponses à ces deux discussions te conviennent ? Oui ou Non ?
Merci d'avance.

Voici son tableau de variation :
x -1 0 1
f -2 1 0

Non ceci est un tableau de valeurs.
Voilà un tableau de variations :
x | -1 0 1 |
-------|-----------------------|
| 1 |
f(x) | / \ |
| -2 / \ 0 |

Non il n'y a qu'une fonction : f.
Définition d'une fonction croissante :
Si a < b et f(a) < f(b) la fonction est strictement croissante
Si a < b et f(a) > f(b) la fonction est strictement décroissante

Si -1<= a < b <= 0

signifie :
On te donne deux valeurs a et b de l'intervalle [tex][-1\;;\;0][/tex] telles que a < b.
Sur [tex][-1\;;\;0][/tex], puisque f est croissante, tu as donc f(a) < f(b)

Et si au lieu de a et b tu prends leurs opposés -a et -b : -a et -b appartiennent eux à [tex]0\;;\;1][/tex] d'accord ?
Puisqu'on avait a < b alors on aura -a > -b.
Si ru ne vois pas pourquoi, pense que que [tex]-a = -1 \times a[/tex], que [tex]-b = -1 \times b[/tex] et que la multiplication par un réel négatif non nul change l'ordre. OK ?

Et maintenant, on attend de toi que tu dises si f(-a) > f(-b) ou si f(-a) < f(-b) et pourquoi.

Tu trouveras la réponse (et la justification) grâce à l'indication donnée f est décroissante sur [tex][0\;;\;1][/tex]

@+

DarwinBakami · 07-10-2015 20:50:05

Merci ça m'a beaucoup aidé !

La réponse serait donc ça : Si -a > -b alors f(-a) > f(-b) car la fonction est décroissante sur [O;1] qui contient -a et -b, C'est ça ?

Sinon j'ai une autre question : "Si 0<= a < b <=1, comparer f(a-1) et f(b-1)."
C'est la première fois que je tombe là dessus, que veut dire ce (a-1) c'est bizarre...

Pour cette discutions vous m'aidez beaucoup, pour celle sur les fonctions et courbes vous ne n'avez pas répondu à mon dernier message et pour celle des algorithme vous m'avez bien aidé avec vos réponses (je n'avais juste pas compris votre exemple à la fin mais ce n'est pas grave tant que j'ai compris pour mon exo). Merci encore ^^.

yoshi · 07-10-2015 21:21:40

Re,

Si -a > -b alors f(-a) > f(-b)

Non !
Décroissance, pour simplifier veut dire quand les x augmentent les f(x) diminuent ou quand les x diminuent les f(x) augmentent
La variation est en sens contraire...

Si 0<= a < b <=1 alors -1 <= a-1 < b-1 <=0
Si tu notes c = a-1 et d = a-1, la question devient ;
Si -1 <= c < d <=0, comparer f(c) et f(d) et là sur [-1 ; 0] sachant que f est croissante, tu te retrouves en terrain connu...

Çà te va ?

@+

[EDIT@
Pour 1 >= -a >-b >=0 (qui s'écrit encore 0<= -b < -a <= 1), tu pouvais aussi noter c=-a et d = -b
Et alors tu avais à comparer f(c) et f(d) sachant que 0<= d < c <=1 et que sur [0 ; 1] f est décroissante

Dernière modification par yoshi (07-10-2015 21:26:09)

DarwinBakami · 07-10-2015 21:53:57

Pour la première question c'est donc -a>-b alors f(-a)< f(-b) c'est bien ça ??
Pour la seconde question je t'ai perdu ici : "-1 <= a-1 < b-1 <=0" Tu écris ça car tu changes d'intervalle et prend [-1;0] ?
Le résultat serait -1<=c < d <= 0 alors f(c)< f(d) car la fonction est croissante ? C'est ça ? Mais si c'est ça, dire que la fonction est croissante est-ce une justification suffisante ?
Et la dernière question c'est : " soit a un réel tel que -1<= a <=0 encadrer f(a²). Comment faire ? Merci.

Dernière modification par DarwinBakami (07-10-2015 22:21:57)

yoshi · 08-10-2015 09:00:26

Salut,

Pour la première question c'est donc -a>-b alors f(-a)< f(-b) c'est bien ça ??

Bin oui, tu sais que sur [0 ; 1] la fonction décroissante, pas d'autre justification nécessaire : tu r'appuies sur la définition de ce qu'est une fonction décroissante.

Ensuite...
L'énoncé dit :
[tex]0 \leqslant a <b \leqslant 1[/tex]
Et on te pose la question pour f(a-1) et f(b-1)
Il faut penser que
a-1 = a + (-1) ; b - 1 = b + (-1)
et à la règle qui dit : L'addition conserve l'ordre.
Autrement dit : ajouter un même nombre aux membres d'une inégalité conserve le sens de cette inégalité.
Je peux donc écrire :
[tex]0 \leqslant a <b \leqslant 1\,\Longleftrightarrow\,0 +(-1)\leqslant a+(-1) <b+(-1) \leqslant 1+(-1)[/tex]

Et tu retrouves avec ;
[tex]-1 \leqslant a-1 <b-1 \leqslant 0[/tex]
Soit dans l'intervalle [-1 ; 0] intervalle dans lequel on te dit que f est croissante.
Donc, en appliquant la définition de la croissance tu peux comparer f(a-1) et f(b-1)

@+

DarwinBakami2 · 08-10-2015 11:29:58

J'ai compris ^^ !! Merci beaucoup !! Et donc pour la troisième question,

"soit a un réel tel que -1<=a<=0, encadrer f(a²)"
Il faut donc aller sur l'intervalle [-1;0] et ensuite ? je dois encadrer f(a²) par rapport à quoi, à f(b²) ou par rapport à l'intervalle (je pense que c'est ça). Je dois me servir de ce que j'ai déjà fais j'imagine, comme la fonction est croissante alors f(a²) sera plus grand que les deux nombres de l'intervalle lui même ? Ahhh je sais pas....Peux-tu m'aider ?

yoshi · 08-10-2015 14:15:47

Salut,

Il te faut d'abors d'en cadrer a² connaissant l'encadrement de a...
Tu as [tex]a \in [-1 ; 0][/tex], tu peux donc en conclure que a² >=0, un carré est toujours positif ou nul, mais ça ne suffit pas.

Examinons la fonction [tex]g : \mathbb{R}\to \mathbb{R}^+[/tex] telle que [tex]g(x)=x^2[/tex]
Sur [tex]\mathbb{R}^-[/tex] cette fonction est décroissante (c'est du cours)..
Ici tu as [tex]-1\leqslant a[/tex] donc [tex]g(-1)\geqslant g(a)[/tex], c'est à dire[tex] (-1)^2\geqslant a^2[/tex]
Et tu recommences avec [tex]a \leqslant 0[/tex] tu compares g(a) et g(0).

Tu as donc [tex]a^2 \in [0\;;\;1][/tex]

Et [tex]f(a^2)[/tex], là tu ressors ton tableau de variation, et tu vas voir qu'il y est écrit l'encadrement de f(x) si [tex]x \in [0\;;\;1][/tex]

@+

DarwinBakami2 · 08-10-2015 14:58:30

Salut, il y'a deux choses que je n'ai pas comprise :

-Pourquoi a² passe sur l'autre intervalle ? Car il est plus petit que l'intervalle initiale ?
-Je n'ai pas compris ou je suis sensé trouver le fait que f(x) appartienne [o;1].

Peux-tu m'aider, merci.

yoshi · 08-10-2015 16:12:26

Re,

1. a est <= 0 et donc a² est >=0... a² n'est jamais négatif ! D'accord ou pas...
L'énoncé te donne [tex]-1\leqslant a \leqslant 0[/tex] et demande d'encadrer f(a²)...
Donc il te faut d'abord encadrer a²...
Donc, je coupe [tex] -1\leqslant a \leqslant 0[/tex] en deux :
[tex]-1\leqslant a[/tex] et [tex]a \leqslant 0[/tex]...
Pour encadrer a², je dois faire appel à la fonction carré que je désigne par g.
Sur[-1 ; 0], la fonction carré est décroissante : c'est du cours !
Donc, sur cet intervalle,
si [tex]-1\leqslant a[/tex] alors [tex]g(-1)\geqslant g(a)[/tex] soit [tex]1 \geqslant a^2[/tex]
si [tex]a \leqslant 0[/tex] alors [tex]g(a)\geqslant g(0)[/tex] soit [tex]a^2 \geqslant 0[/tex]

Si tu réunis les deux, tu obtiens bien [tex]0 \leqslant a^2 \leqslant 1[/tex]
Ci-dessous, une vérification graphique avec la courbe représentative de [tex]g(x)=x^2[/tex] sur [-1 ; 0]

Maintenant, c'est peut-être le a² qui te trouble ? Ok, dans ce cas pose b = a² et tu écris bien [tex]0 \leqslant b \leqslant 1[/tex], non ?

La question est maintenant : sachant que [tex]0 \leqslant b \leqslant 1[/tex] quel est l'encadrement de f(b) ?
Réponse ci-dessous

2.

Je n'ai pas compris ou je suis sensé trouver le fait que f(x) appartienne [0 ; 1].

Bin, là tout simplement qui te montre que pour [tex]x \in [0\;;\;1][/tex], f(x) décroit de 1 à 0.
x | -1 0 1 |
-------|-----------------------|
| 1 |
f(x) | / \ |
| -2 / \ 0 |

Ça y est ?

@+

DarwinBakami · 08-10-2015 17:55:59

Oui c'est bon j'ai compris, merci beaucoup pour ta patience et le temps que tu m'as accordé !

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