Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Anselm

Invité

Suites

Coucou à tous, pouvez vous m'aider pour un exercice ?

On considère la suite (Un) (n appartient à l'ensemble N), défini par:

U0= 0 et Un+1= (1+Un)/(n+1)  si n différent de 0

1) Montrer par récurrence que pour tout n > 1 on a Un > 1/n
2) Etudier la monotonie de la suite Un.
3) Montrer que la suite est convergente.
4) Calculer la limite de Un.

Je ne vous demande pas de le faire à ma place mais de m'aider à comprendre svp :)

Mouhcine

Membre

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Re : Suites

Bonjour,
Pour 1)  Pa récurrence:
- Pour [tex]n=1[/tex]; ...
- Supposons que [tex]U_n > \frac{1}{n}[/tex];
- Montrons que [tex]U_{n+1} > \frac{1}{n}[/tex];
2) Calculer [tex]U_{n+1}  - U_n [/tex]; (Croissante pour [tex]U_{n+1}  - U_n>0[/tex] et décroissante dans l'autre cas);
3) Une suite majorée (resp. minorée) et croissante (resp. décroissante) est convergente.
4) La suite et donc convergente et à toi de calculer sa limite.

Cordialement

Dernière modification par Mouhcine (04-10-2015 12:59:33)

Anselm

Invité

Re : Suites

D'accord merci beaucoup!

Mais pour la récurrence, si je suppose Un > 1/n, je ne dois pas plutôt démontrer Un+1 > 1/(n+1) ?
Et pour la converge, je peux dire que U0= 0 donc la suite est minorée par 0 ? Et puisqu'elle est croissante elle est donc convergente.

yoshi

Modo Ferox

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Messages : 16 988

Re : Suites

Bonjour,

Oui, c'est bien [tex]U_{n+1}>\frac{1}{n+1}[/tex].
Faute de frappe, ou manque de points de suspension pour t'indiquer de continuer...

[tex]U_{n+1}= \frac{1+U_n}{n+1}=\frac{U_n}{n+1}+\frac{1}{n+1}[/tex]
Avec [tex]U_n>\frac 1 n[/tex],  on a [tex]\frac{U_n}{n+1}> \frac {1}{n(n+1)}[/tex]
Et maintenant, tu poursuis [tex]U_{n+1} >...[/tex] et après tu compares [tex]\frac{1}{n}[/tex]  et [tex]\frac{1}{n+1}[/tex]...

Pour le reste Mouhcine a tout dit...

@+

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