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#1 03-10-2015 08:42:17

Terces
Membre
Inscription : 16-07-2015
Messages : 466

Homographie z -> 1/z

Bonjour,
je penses que je n'ai pas besoin de vous ecrire le debut de l’énoncé mais juste la question:

-"Montrer que l'image d'une droite de C(avec un ^) passant par 0 par l'homographie z=1/z est une droite passant par 0."

J'ai toute une série de questions comme ca à résoudre, l'inconvénient c'est que je comprends mal le concept.

Donc:
est-ce que je dois montrer que si |Z-Z1|=|Z-Z2|    avec Z2 l'opposé de Z1 pour que la droite passe par 0   alors |(1/Z)-Z1|=|(1/Z)-Z2|    forme aussi une droite passant par 0 ?

et dans ce cas on pose juste Z' = 1/Z ce qui donnera un truc du style    (a-i*b)/(a²+b²)  ?


L’inconvénient c'est que en deuxième question on me demande pareil mais que si la droite ne passe pas par 0 alors par l'homographie 1/z on obtient un cercle :o
donc je suppose que mon raisonnement est faux ?
j'ai regardé la solution sur internet mais je ne comprends rien ...


PS: on est censé voir ca en première année ?






Ha il y a du nouveau, je viens de faire un exemple et mon raisonnement fonctionne bien pour une droite ne passant pas par 0, cela donne un cercle ! :)



Bon je vais tenter de réfléchir à tout ca, si je bloque je reviendrais.


Cependant je ne comprends pour le moment pas l'utilité de définir un "infini" (bien que ce n'en soit pas vraiment un ...) ajouté à C.

Dernière modification par Terces (03-10-2015 08:56:11)


La somme des inverses de la suite de Sylvester converge vers 1 plus vite que toute autre série somme infinie d'inverses d'entiers convergeant vers 1.

Hors ligne

#2 03-10-2015 17:30:49

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Homographie z -> 1/z

Bonsoir,

  La première chose à se demander, c'est comment représenter une droite passant par l'origine avec des nombres complexes.
C'est facile, on fixe un vecteur directeur d'affixe [tex]a\neq 0[/tex], et on dit que [tex]M[/tex] d'affixe [tex]z[/tex] est sur la droite si et seulement s'il existe [tex]\lambda\in \mathbb R[/tex] tel que [tex]z=\lambda a [/tex]. Je passe à l'inverse et je trouve que [tex]\frac 1z=\frac 1\lambda\frac 1a[/tex]. On a donc que [tex]\frac 1z[/tex] est sur la droite passant par l'origine et de vecteur directeur le vecteur d'affixe [tex]\frac 1a[/tex].

F.

En ligne

#3 03-10-2015 18:16:40

Terces
Membre
Inscription : 16-07-2015
Messages : 466

Re : Homographie z -> 1/z

Fred a écrit :

Bonsoir,

  La première chose à se demander, c'est comment représenter une droite passant par l'origine avec des nombres complexes.
C'est facile, on fixe un vecteur directeur d'affixe [tex]a\neq 0[/tex], et on dit que [tex]M[/tex] d'affixe [tex]z[/tex] est sur la droite si et seulement s'il existe [tex]\lambda\in \mathbb R[/tex] tel que [tex]z=\lambda a [/tex]. Je passe à l'inverse et je trouve que [tex]\frac 1z=\frac 1\lambda\frac 1a[/tex]. On a donc que [tex]\frac 1z[/tex] est sur la droite passant par l'origine et de vecteur directeur le vecteur d'affixe [tex]\frac 1a[/tex].

F.

Re,

Hum si j'ai bien compris, j'avais pas besoin d'écrire une page sur |Z-Z1|=|Z-Z2| :(
Merci quand même pour la méthode, elle me sera peut-être utile pour les 3 dernières questions.

Questions:
si j’applique ta méthode à la question 2, j’aurais du dire z=y*a+b
et donc 1/z  =  1/y  *  1/a   +   1/b   ?
<=>   x-i*y=(x²+y²)/y*a + (x²y²)/b   et donc un cercle seulement si y*a != 0  et  b != 0  ?

Enfin c'est pas si clair que ca dans mon esprit :/  tu considère ton 1/y comme un x pour dire que 1/a est les coefficient directeur ?

Dernière modification par Terces (03-10-2015 22:02:57)


La somme des inverses de la suite de Sylvester converge vers 1 plus vite que toute autre série somme infinie d'inverses d'entiers convergeant vers 1.

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#4 03-10-2015 21:56:35

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Homographie z -> 1/z

Euh... Ta formule de passage à l'inverse n'est pas bonne et puis j'ai l'impression que tu mélanges des y qui ont des sens différents.

En ligne

#5 03-10-2015 22:02:08

Terces
Membre
Inscription : 16-07-2015
Messages : 466

Re : Homographie z -> 1/z

Fred a écrit :

Euh... Ta formule de passage à l'inverse n'est pas bonne et puis j'ai l'impression que tu mélanges des y qui ont des sens différents.

Oups oui désolé très très très grosse erreur en effet...

Dernière modification par Terces (03-10-2015 22:05:36)


La somme des inverses de la suite de Sylvester converge vers 1 plus vite que toute autre série somme infinie d'inverses d'entiers convergeant vers 1.

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