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#1 03-10-2015 08:42:17
- Terces
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- Messages : 466
Homographie z -> 1/z
Bonjour,
je penses que je n'ai pas besoin de vous ecrire le debut de l’énoncé mais juste la question:
-"Montrer que l'image d'une droite de C(avec un ^) passant par 0 par l'homographie z=1/z est une droite passant par 0."
J'ai toute une série de questions comme ca à résoudre, l'inconvénient c'est que je comprends mal le concept.
Donc:
est-ce que je dois montrer que si |Z-Z1|=|Z-Z2| avec Z2 l'opposé de Z1 pour que la droite passe par 0 alors |(1/Z)-Z1|=|(1/Z)-Z2| forme aussi une droite passant par 0 ?
et dans ce cas on pose juste Z' = 1/Z ce qui donnera un truc du style (a-i*b)/(a²+b²) ?
L’inconvénient c'est que en deuxième question on me demande pareil mais que si la droite ne passe pas par 0 alors par l'homographie 1/z on obtient un cercle :o
donc je suppose que mon raisonnement est faux ?
j'ai regardé la solution sur internet mais je ne comprends rien ...
PS: on est censé voir ca en première année ?
Ha il y a du nouveau, je viens de faire un exemple et mon raisonnement fonctionne bien pour une droite ne passant pas par 0, cela donne un cercle ! :)
Bon je vais tenter de réfléchir à tout ca, si je bloque je reviendrais.
Cependant je ne comprends pour le moment pas l'utilité de définir un "infini" (bien que ce n'en soit pas vraiment un ...) ajouté à C.
Dernière modification par Terces (03-10-2015 08:56:11)
La somme des inverses de la suite de Sylvester converge vers 1 plus vite que toute autre série somme infinie d'inverses d'entiers convergeant vers 1.
Hors ligne
#2 03-10-2015 17:30:49
- Fred
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- Messages : 7 035
Re : Homographie z -> 1/z
Bonsoir,
La première chose à se demander, c'est comment représenter une droite passant par l'origine avec des nombres complexes.
C'est facile, on fixe un vecteur directeur d'affixe [tex]a\neq 0[/tex], et on dit que [tex]M[/tex] d'affixe [tex]z[/tex] est sur la droite si et seulement s'il existe [tex]\lambda\in \mathbb R[/tex] tel que [tex]z=\lambda a [/tex]. Je passe à l'inverse et je trouve que [tex]\frac 1z=\frac 1\lambda\frac 1a[/tex]. On a donc que [tex]\frac 1z[/tex] est sur la droite passant par l'origine et de vecteur directeur le vecteur d'affixe [tex]\frac 1a[/tex].
F.
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#3 03-10-2015 18:16:40
- Terces
- Membre
- Inscription : 16-07-2015
- Messages : 466
Re : Homographie z -> 1/z
Bonsoir,
La première chose à se demander, c'est comment représenter une droite passant par l'origine avec des nombres complexes.
C'est facile, on fixe un vecteur directeur d'affixe [tex]a\neq 0[/tex], et on dit que [tex]M[/tex] d'affixe [tex]z[/tex] est sur la droite si et seulement s'il existe [tex]\lambda\in \mathbb R[/tex] tel que [tex]z=\lambda a [/tex]. Je passe à l'inverse et je trouve que [tex]\frac 1z=\frac 1\lambda\frac 1a[/tex]. On a donc que [tex]\frac 1z[/tex] est sur la droite passant par l'origine et de vecteur directeur le vecteur d'affixe [tex]\frac 1a[/tex].F.
Re,
Hum si j'ai bien compris, j'avais pas besoin d'écrire une page sur |Z-Z1|=|Z-Z2| :(
Merci quand même pour la méthode, elle me sera peut-être utile pour les 3 dernières questions.
Questions:
si j’applique ta méthode à la question 2, j’aurais du dire z=y*a+b
et donc 1/z = 1/y * 1/a + 1/b ?
<=> x-i*y=(x²+y²)/y*a + (x²y²)/b et donc un cercle seulement si y*a != 0 et b != 0 ?
Enfin c'est pas si clair que ca dans mon esprit :/ tu considère ton 1/y comme un x pour dire que 1/a est les coefficient directeur ?
Dernière modification par Terces (03-10-2015 22:02:57)
La somme des inverses de la suite de Sylvester converge vers 1 plus vite que toute autre série somme infinie d'inverses d'entiers convergeant vers 1.
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#5 03-10-2015 22:02:08
- Terces
- Membre
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- Messages : 466
Re : Homographie z -> 1/z
Euh... Ta formule de passage à l'inverse n'est pas bonne et puis j'ai l'impression que tu mélanges des y qui ont des sens différents.
Oups oui désolé très très très grosse erreur en effet...
Dernière modification par Terces (03-10-2015 22:05:36)
La somme des inverses de la suite de Sylvester converge vers 1 plus vite que toute autre série somme infinie d'inverses d'entiers convergeant vers 1.
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