Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Mouhcine

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Limite

Bonjour,
Je voudrais calculer la limite de la suite suivante
[tex] u_n= \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n^2+k^2};[/tex]
Pour cela, on a [tex]\frac{1}{2n^2} \leq \frac{1}{n^2+k^2} \leq \frac{1}{n^2}, \quad \mbox{pour} \, 1\leq k \leq n[/tex]
ceci implique que [tex]\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2n^2} \leq \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n^2+k^2} \leq \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n^2}, [/tex]
donc [tex]\frac{n(n+1)}{4n^2} \leq u_n \leq \frac{n(n+1)}{2n^2}, [/tex]
On fait tendre [tex]n[/tex] vers [tex]+\infty[/tex] on trouve
[tex]\frac{1}{4} \leq \lim_{n\to +\infty} u_n \leq \frac{1}{2}, [/tex]
Je trouve pas donc la valeur exact de la limite, mais juste une estimation de la limite.
Merci d'avance

Fred

Administrateur

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Re : Limite

Hello,

  Tu as fait une erreur quand tu calcules [tex]\sum_{k=1}^n \frac{1}{n^2} [/tex]
Rien à l'intérieur ne dépend de [tex]k[/tex]....

F.

Roro

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Re : Limite

Hello,

Je viens de voir la réponse de Fred. Je n'avais même pas vu l'erreur et j'allais répondre qu'il serait peut être intéressant d'utiliser les sommes de Riemann.

Etant donnée la réponse finale, c'est sans doute plus simple d'encadrer comme le propose Mouhcine (sans faire d'erreur).

Roro.

Mouhcine

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Messages : 106

Re : Limite

Bonjour Fred, Ah oui vous avez raison rien à l'intérieur de la somme ne dépend de [tex]k[/tex], on a donc
[tex]\frac{1}{2n} \leq u_n \leq \frac{1}{n},[/tex]
d'où [tex]\lim_{n\to +\infty} u_n = 0[/tex]
Merci