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#1 29-09-2015 10:31:15

KALDUZOU
Membre
Inscription : 29-09-2015
Messages : 2

Bloqué sur un DM

Bonjour, je suis bloqué sur cet exercice

Soient a, b ∈ R avec a 6 = 1 et (Un) la suite définie par la donnée de U0 et de la relation de

récurrence Un+1 = aUn + b .

1. Préciser la nature de (Un).

Quelle est la seule limite réelle l possible de cette suite ?

2. Soit Vn = Un − l. Montrer que (Vn) est une suite géométrique, et en déduire le terme

général et la limite de la suite (Un).

3. Application : on considère un carré de côté 1. On le partage en 9 carrés égaux, et on

colorie le carré central. Puis, pour chaque carré non-colorié, on réitère le procédé. On

note un l’aire hachurée après l’étape n. Quelle est la limite de (Un) ?

Merci de vos réponses

Dernière modification par yoshi (29-09-2015 10:39:25)

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#2 29-09-2015 11:00:20

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 948

Re : Bloqué sur un DM

Bonjour,


Bienvenue chez nous...
Question : qu'est-ce que signifie

a 6 = 1

?
[tex]a_6 = 1[/tex] (ça m'étonnerait), [tex]ab=1[/tex] ou autre chose et quoi ?

@+


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#3 29-09-2015 15:09:43

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 948

Re : Bloqué sur un DM

Re,

Telle que, cette suite est arithmético-géométrique.
On déduit que :
1. si a = 0, la suite est constante,
2. si a = 1, la suite est arithmétique de raison b,
3. Si b = 0, la suite est géométrique de raison a.
4. Si ab = 1 les points 1. et 3. s'excluent d'eux-mêmes.

Reste à savoir si a 6 = 1 n'est autre que ab = 1 ou autre chose...

@+


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#4 29-09-2015 18:51:23

KALDUZOU
Membre
Inscription : 29-09-2015
Messages : 2

Re : Bloqué sur un DM

Bonsoir, je me suis effectivement trompé c'est a≠1 et non a 6

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#5 30-09-2015 09:22:06

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 948

Re : Bloqué sur un DM

Bonjour,

1. Ta suite est arithmético-géométrique.
On peut lui associer la fonction affine f de [tex]\mathbb{R}[/tex] dans [tex]\mathbb{R}[/tex] telle que [tex]f(x)=ax+b[/tex]...
Si a = 0, la suite est arithmétique (et Vn n'existera pas), si b =0 la suite est géométrique (et Vn=Un).
J'élimine donc ces deux cas.
Si la limite l existe, elle est telle que que f(l)=l.
[tex]l=al+b\Leftrightarrow l= \frac{b}{1-a}[/tex] (d'où le [tex]a \neq 1[/tex] de l'énoncé)

2. [tex]U_{n+1}=aU_n+b= a(V_n+l)+b\Leftrightarrow\;V_{n+1}+l=a(V_n+l)+b\Leftrightarrow\;V_{n+1}=aV_n+al+b-l[/tex]
D'où [tex]V_{n+1}=aV_n+l(a-1)+b[/tex]
Or, [tex]l=\frac{b}{1-a}[/tex]

Et tu vas conclure que[tex] V_{n+1}=aV_n=a^{n+1}V_0[/tex]  et donc [tex]V_n=a^nV_0[/tex]
...

A toi de jouer...

@+


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