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#26 03-10-2015 18:41:02
- Camille23
- Invité
Re : On rejoue gratis
Rebonjour,
Bien sûr ce problème suit une loi de Polya : On s'arrête au premier succès ! Ou au second !
Il suffit, intellectuellement, de penser "succès" quand un jeton n'est pas reconduit...
Une autre réalisation correspond à des boules noires et blanches tirées d'un sac. Avec succès si on tire une boule blanche et remise dans le sac de toute boule noire tirée...on s'arrête dès qu'on a tiré une blanche.
#28 04-10-2015 15:04:10
- Terces
- Membre
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Re : On rejoue gratis
Bonjour Freddy
Je n’ai pas pensé à Polya .
Voici une▼Solution
Salut,
je ne suis pas d'accord avec ta réponse 2 (avec la une non plus mais bon j'accepte ta "version" de l'énoncé donc oui.) car si on perd(ou gagne) on peut rejouer, je penses que la probabilité augmente forcément.
je dirais 9min.
La somme des inverses de la suite de Sylvester converge vers 1 plus vite que toute autre série somme infinie d'inverses d'entiers convergeant vers 1.
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#29 04-10-2015 17:36:33
- freddy
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- Messages : 7 457
Re : On rejoue gratis
Bonjour Freddy
Je n’ai pas pensé à Polya .
Voici une Solution
1) En achetant un seul jeton, on reste en attente des tirages successifs :
Les premières 3 min (c’est certain)
puis 3min avec la proba ½
puis 3min avec la proba (1/2)²
puis 3 min puis avec la proba (1/2))3
etc.
Donc, en moyenne, on reste t = 3*[tex]\sum_{k=0}^{+\infty}(1/2)^k[/tex] = 6 min
2) En achetant 2 jetons
On reste au stand … 6 min également
Il me semble que ce qui change, c’est le gain éventuel de 2 lots et le double de jetons perdus non ?
Remarque : j’ai indiqué 8 min dans un précédent post, mais c’était un lapsus.
Re,
comment tu démontres la solution avec deux jetons ?
De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.
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#30 05-10-2015 00:26:27
- sotsirave
- Membre
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- Messages : 203
Re : On rejoue gratis
Bonjour Terces
Si tu perds , ou gagnes 2 lots, tu ne peux plus jouer car tu n'as plus de jetons (il faudrait t'en procurer )
Si tu gagnes des jetons, c'est 2 jetons avec la proba de 1/2 et tu es renvoyé au début d'une nouvelle partie avec une proba de 1/2 de rejouer ensuite. Mais pour pouvoir jouer n fois, la proba de cette événement est 1/2n-1(les évènements sont indépendants 2 à 2).
A chaque partie la proba de gagner 2 jetons est constante et n'augmente pas.
(c'est comme à pile ou face)
L'espérance donne la moyenne du temps passé au stand.
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#31 06-10-2015 10:40:51
- freddy
- Membre chevronné
- Lieu : Paris
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- Messages : 7 457
Re : On rejoue gratis
Salut,
je pense que tu te prends un peu les pieds dans le tapis.
On pose [tex]p[/tex] la proba que la partie s'arrête et donc [tex]1-p[/tex] que le joueur gagne un jeton gratuit.
Puisque le cas "acheter un jeton" est réglé, on considère celui de 2 jetons achetés.
Tu es d'accord qu'il doit jouer au moins deux fois avant d'avoir tout perdu.
Je considère [tex]X[/tex] la variable aléatoire = nombre de fois où je gagne un jeton gratuit avant de perdre mon second acheté. Cette v.a suit une loi binomiale négative classique de paramètre[tex] r=2[/tex] et [tex]1-p[/tex] d'espérance 2 puisque [tex]p=1-p[/tex].
Je définis [tex]Y=X+2[/tex] = nombre de parties jouées. Son espérance est égale à celle de [tex]X +2 =4[/tex].
Dans mon post #21, je n'ai pas donné le résultat de mes calculs, car j'étais troublé : je trouvais 2. C'est dû à une mauvaise modélisation de l'expérience aléatoire = la probabilité de jouer exactement deux parties = 1 ! et c'est ensuite qu'on entre dans le schéma "go" "stop" que tu décris avec ce détail : pour s'arrêter après [tex]n[/tex] jeux, il faut gagner [tex]n-2[/tex] fois et perdre [tex]1[/tex] fois avant de perdre la seconde fois à la partie numéro [tex]= n[/tex].
De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.
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#32 06-10-2015 18:13:49
- Terces
- Membre
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- Messages : 466
Re : On rejoue gratis
Bonjour Terces
Si tu perds , ou gagnes 2 lots, tu ne peux plus jouer car tu n'as plus de jetons (il faudrait t'en procurer )
Si tu gagnes des jetons, c'est 2 jetons avec la proba de 1/2 et tu es renvoyé au début d'une nouvelle partie avec une proba de 1/2 de rejouer ensuite. Mais pour pouvoir jouer n fois, la proba de cette événement est 1/2n-1(les évènements sont indépendants 2 à 2).
A chaque partie la proba de gagner 2 jetons est constante et n'augmente pas.
(c'est comme à pile ou face)
L'espérance donne la moyenne du temps passé au stand.
Re,
Hum j'ai pas tout compris mais réflechi 2 sec à cette situation (dans la vrai vie...) si tu as deux jetons tu vas rester en moyenne plus de temps qu'avec un :p
La somme des inverses de la suite de Sylvester converge vers 1 plus vite que toute autre série somme infinie d'inverses d'entiers convergeant vers 1.
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