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#1 25-09-2015 16:49:42

sotsirave
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On rejoue gratis

Bonjour
Cette fête foraine languissait sous la pluie dans une odeur attirante de frites.
J’étais intrigué car un stand ne désemplissait pas alors que d’autres étaient déserts.
Sur une pancarte était écrit :
« deux jetons pour 5€, un  pour 3€ ».
Le forain lançait toutes les 3 minutes, à la fin de la partie, sa roue sur laquelle on pouvait voir 10 secteurs isométriques :
2 : gagné (un superbe lot),
5 : jeton gratis, et,
3 : perdu
  Il distribuait ensuite les lots gagnés et les jetons gratis puis, une nouvelle partie recommençait.
1) En achetant 1 jeton, tout au début de la partie, quel est, en moyenne, le temps passé à ce stand?
2) Même question en achetant 2 jetons  tout au début de la partie
*

* on ne rajoute pas de jetons tant que l'on peut jouer.

Dernière modification par sotsirave (28-09-2015 11:12:43)

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#2 26-09-2015 23:09:19

Terces
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Re : On rejoue gratis

Salut,

1) j'ai envie de dire 4min30 (en négligent plein de détails de la vraie vie.)
en gros ma vision des choses, on paye les billets mais le "gérant" lance la roue entre 0 et 3min soit en moyenne 1min30 puis il y a une chance sur 2 que ca dure 3min soit 1min 30 et puis encore une chance sur 2 et encore en encore donc je penses à rajouter 3 min pour tout ca.
Bon je vais pas te mentir je ne penses pas que c'est la "bonne" réponse mais je ne sais pas pourquoi :/

2) en suivant le même raisonnement 7min30 ?


La somme des inverses de la suite de Sylvester converge vers 1 plus vite que toute autre série somme infinie d'inverses d'entiers convergeant vers 1.

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#3 26-09-2015 23:59:01

sotsirave
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Re : On rejoue gratis

Bonsoir Terces

le tirage a toujours lieu à la fin des 3 minutes

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#4 27-09-2015 10:05:34

Terces
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Re : On rejoue gratis

sotsirave a écrit :

Bonsoir Terces

le tirage a toujours lieu à la fin des 3 minutes

Oui je sais,
je paye mon jeton et le mr était dans sa boucle de tirage donc en moyenne la première fois il va tirer pour moi dans 1min30 ?
ou alors il tire la roue pour chaque personne individuellement ?


La somme des inverses de la suite de Sylvester converge vers 1 plus vite que toute autre série somme infinie d'inverses d'entiers convergeant vers 1.

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#5 27-09-2015 13:56:43

sotsirave
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Re : On rejoue gratis

Bonjour Terces

Je vois que tu ne fréquentes pas ou peu les fêtes foraines.
C'est comme les tombolas.
Ici on vend 1 ou 2 jetons et au bout de 3 min un tirage a lieu pour tous les joueurs ayant pris des jetons pendant ces 3 minutes (le forain fait tourner sa roue à secteurs).
La partie est finie et le forain distribue les lots aux gagnants et les jetons gratis éventuellement.
Puis, on recommence la vente et 3 min plus tard, le forain fait de nouveau tourner sa roue pour un nouveau résultat et ainsi de suite.
Dans ce problème, on considère uniquement un joueur ayant pris 1 ou 2 jetons au début de la partie.
OK?

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#6 27-09-2015 14:29:29

Terces
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Re : On rejoue gratis

Alors dans ce cas à la place de prendre 1min30 de moyenne d'attente on peut prendre 4min30
donc
1) 7min30 ?
2) 10min30 ?


La somme des inverses de la suite de Sylvester converge vers 1 plus vite que toute autre série somme infinie d'inverses d'entiers convergeant vers 1.

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#7 27-09-2015 18:01:18

sotsirave
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Re : On rejoue gratis

Bonsoir

Je ne crois pas

Dans le cas d'un jeton, voici une

indication

3 min avec la probabilité 1(c'est certain) puis 3min avec la probabilité 1/2 puis 3min avec la probabilité (1/2)² etc. cequi fait...

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#8 27-09-2015 19:50:28

Terces
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Re : On rejoue gratis

sotsirave a écrit :

Bonsoir

Je ne crois pas

Dans le cas d'un jeton, voici une

indication

3 min avec la probabilité 1(c'est certain) puis 3min avec la probabilité 1/2 puis 3min avec la probabilité (1/2)² etc. cequi fait...

Oui 6(je crois) mais:
Quand on arrive au stand la probabilité qu'il nous fasse payer directement n'est-elle pas de zéro?
J'ai bien relu tes indications et je reviens sur ma position:

4min30 pour le premier car:

quand j'arrive au stand, le jeu à déja commencé depuis longtemps donc la boucle des 3min ne commence pas quand j'arrive puisque tu dis toi même "au bout de 3 min un tirage a lieu pour tous les joueurs" donc quand j'arrive au stand, je paye et le jeu va se lancer dans 0 à 3 min soit une moyenne de 1min30 à attendre que le jeu commence et la on fait 3*1/2 +3*1/4 +3*1/8 ...
Donc 4min30 ?

J'attends tes arguments.




Imagine toi qu'on y va ensemble mais je te dis "attend 1 min je vais au toilette" ?

Dernière modification par Terces (27-09-2015 20:33:50)


La somme des inverses de la suite de Sylvester converge vers 1 plus vite que toute autre série somme infinie d'inverses d'entiers convergeant vers 1.

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#9 27-09-2015 22:39:14

sotsirave
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Re : On rejoue gratis

Bonjour Terces

Bon; J'arrive, j'achète un jeton (ou deux) et 3 minutes plus tard le forain tourne sa roue et distribue les lots et les jetons gratis.
On recommence une autre partie et 3 minutes plus tard etc.

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#10 28-09-2015 08:14:30

freddy
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Re : On rejoue gratis

Salut,

tout compte fait, on a une chance sur deux de continuer et autant de s'arrêter.
On définit X la variable aléatoire qui est le nombre total de parties jouées avant de s'arrêter.
On remarque que c'est une loi de Polya de paramètre p = 1/2 et r = 1 ou 2.
Avec un jeton, on joue en moyenne 1 fois ; avec 2 jetons, deux fois.
Supposons que j'arrive, j'achète un ou deux jetons et que le forain tourne sa roue magique 3' plus tard. On suppose que le délai mis par la roue pour faire son tour est négligeable (pas d'information) ...
Donc avec un jeton, la partie dure 3 min ; avec 2 jetons, 6 min.
Mais je suis d'accord avec Terces, le problème n'est pas assez précis dans sa formulation.


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#11 28-09-2015 11:01:51

sotsirave
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Re : On rejoue gratis

bonjour Terces

Je vais modifier le libellé pour le rendre plus précis.
On peut envisager le même problème en prenant un ou 2 jetons juste avant le résultat.
Mais ce n'est pas ce que je propose.

Dernière modification par sotsirave (28-09-2015 11:17:12)

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#12 28-09-2015 11:24:32

sotsirave
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Re : On rejoue gratis

Bonjour Freddy

On suppose que l'on prend le(s) jeton(s) juste au moment où une nouvelle partie commence et que celle-ci se termine à la fin de la distribution des lots et des jetons gratis 3 min plus tard exactement (à quelques secondes près...).
Ce qui compte, c'est le raisonnement.

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#13 28-09-2015 15:36:46

freddy
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Re : On rejoue gratis

Re

alors j'ai répondu. Si tu ne suis pas mon raisonnement, je peux réexpliquer.


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#14 28-09-2015 17:04:35

al berto
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Re : On rejoue gratis

Bonjour,
Seulement une question : quand je gagne, un lot ou un jeton, obtienne-je en arrière aussi mon jeton joué?
ciao.
aldo


L'intensità del prurito è sempre inversamente proporzionale alla raggiungibilità del punto. 

Legge 28

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#15 28-09-2015 17:45:44

sotsirave
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Re : On rejoue gratis

non al berto quand tu joues un jeton, ce jeton revient au forain si tu perds; mais si tu gagnes un jeton gratis, tu le garde pour une nouvelle partie

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#16 28-09-2015 18:56:34

sotsirave
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Re : On rejoue gratis

Bonsoir Freddy

Si tu te procures un jeton, tu resteras au moins 3 min et plus si tu gagnes un jeton gratis . le temps moyen est supérieur à 3 min.
Voici une

indication

on peut déterminer la loi de probabilité des gains puis celle des temps passés en moyenne sur le stand

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#17 28-09-2015 20:14:39

al berto
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Re : On rejoue gratis

Salut,
Pardon,
Si je joue un jeton et je gagne un lot ou un jeton, est-ce que je reste avec un jeton ou avec deux jetons?  Gagne- je un jeton plus la mise?
Merci.
aldo


L'intensità del prurito è sempre inversamente proporzionale alla raggiungibilità del punto. 

Legge 28

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#18 28-09-2015 21:45:22

sotsirave
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Re : On rejoue gratis

tu restes avec un jeton car un jeton c'est un lot ou(exclusif) 1 jeton ou (exclusif) rien ( tu perds)

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#19 01-10-2015 14:08:32

al berto
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Re : On rejoue gratis

Salut,

Donc, si je comprends bien, la question se résume à : 10 secteurs, dans cinq secteurs on gagne un jeton et cinq secteurs on perde un jeton, fifty-fifty. Etant donné que le lot n'a pas affect sur la distribution de jetons. Donc, si on joue un jeton, on gagne 50 % et 50 % on perde. Ainsi, on peut jouer au moins trois minutes et maximum l'infinie ;-). La moyenne de trois minutes et l'infini est : (trois minutes+infini) divisé par deux. Qu'est-ce?;o))
ciao.
aldo


L'intensità del prurito è sempre inversamente proporzionale alla raggiungibilità del punto. 

Legge 28

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#20 01-10-2015 14:47:53

sotsirave
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Re : On rejoue gratis

Bonjour Al berto

En probabilité , la moyenne d’une variable aléatoire X = {(xi,pi)} i € {1, 2,..n,…}
est l’espérance mathématique, c'est-à-dire une somme éventuellement infinie de termes xi*pi .
Cette somme peut être finie, comme tu le sais.

C’est le cas dans ce problème.

Par ailleurs on a 2/10 chances de gagner un lot, 3/10 de perdre la partie et 1/2 de rejouer avec un jeton à la fin d'une partie.
A+

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#21 02-10-2015 08:36:26

freddy
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Re : On rejoue gratis

Salut,

non, la somme est techniquement infinie.
Je définis X le nombre de parties auxquelles j'ai participé et [tex]p[/tex] la proba. de gagner un jeton gratis.

Avec 1 jeton :
On a pour [tex]n \ge 1[/tex], [tex]\Pr(X=n)=p^{n-1}(1-p)[/tex] et [tex]E(X)=\sum_n n\Pr(X=n)=\frac{1}{1-p}=2[/tex], soit 6 minutes.

Avec 2 jetons :
On a pour [tex]n \ge 2[/tex], [tex]\Pr(X=n)=\binom{n-1}{1}p^{n-2}(1-p)^2[/tex] et [tex]E(X)=\sum_n n\Pr(X=n)=(...)[/tex], soit (...) minutes.


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#22 02-10-2015 10:21:55

sotsirave
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Re : On rejoue gratis

Bonjour Freddy

Le temps moyen Tm est d'environ 9 min. (quand on joue 2 jetons).

En effet:

Si on gagne un jeton , on a attendu 3min puis le temps moyen est de 6 min (pour un jeton) ;
on jouera donc un temps moyen aux alentours de 9 min.

Dans le cas de 2 jetons, ton espérance n'est pas valable.

A+

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#23 02-10-2015 23:01:53

sotsirave
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Re : On rejoue gratis

Bonsoir Freddy

suite

J'ai calculé ton espérance dans le cas de 2 jetons et j'ai trouvé 4 soit un temps moyen de 12 min.
Or celui que j'ai calculé est 8 min. Ou est l'erreur? Donne moi ton résultat pour savoir si le calcul de ton espérance est bien 12 min.

Par ailleurs, je ne pense pas que ce problème relève de la loi de Polya : on ne comptabilise pas le nombre de fois ou le résultat n'est ni 1 jeton ni 2. Par contre, il faut évaluer la loi de probabilité des événements donnant un gain (ou une perte) et en déduire les temps moyens d'attente au stand suivant les cas.

Dernière modification par sotsirave (03-10-2015 14:57:31)

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#24 03-10-2015 15:10:40

camille23
Invité

Re : On rejoue gratis

Bonjour,

freddy est un spécialiste en probabilités et statistiques !
On peut donc faire confiance à  son post #21 formule un jeton  Appelons cette formule P1(X=n)

Et faire aussi confiance à sa formule 2 jetons : Si on appelle P2(X=n) cette formule,
freddy a simplement écrit que le deuxième jeton était utilisé dès que le premier n'était pas reconduit
soit [tex]P2(X=n)=\sum_{k=1}^{n-1} {(P1(X=k) \times P1(X=n-k))}[/tex]

#25 03-10-2015 16:06:47

freddy
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Re : On rejoue gratis

Salut,

si, si, c'est une loi de Polya, mais je l'ai mal appliquée (merci de la confiance de Camille23) car lu le sujet trop vite.

Je repose les bases : j'appelle Y le nombre de jeux gagnés avant de perdre n=1 fois (cas de un jeton acheté) ou n = 2 fois.
J'appelle X le nombre de fois où je "gagne = je n'ai plus de jeton pour jouer". X suit une loi de Polya de paramètre n (=1 ou 2) et p=1-p=1/2.
Y = X+n est une va dont l'espérance mathématique E(Y)= E(X)+n.
Je sais que E(X) = n*(1-p)/p = n

Donc si j'ai un seul jeton, le jeu dure 2 unités de temps ; si j'en ai 2, il dure 4 unités de temps.

PS = j'ai mi un peu de temps à retrouver mes petits entre la loi géométrique et celle de Polya = binomiale négative, désolé. Ma première réponse est incomplète, elle m'a troublé un moment :-)

@sotsivare

je suis beaucoup trop orgueilleux pour lire tes suggestions, pardonne moi !


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