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Anonyme007

Invité

Surjection

Bonsoir à tous,

Soient [tex]p[/tex] un nombre premier, et [tex]n \in \mathbb{N}^*[/tex] . On note : [tex]A_n = \mathbb{Z} / p^n \mathbb{Z}[/tex] muni de sa structure d'anneau.
On désigne par :[tex] \varphi_n : A_{n+1} \to A_n[/tex] la surjection canonique.

Pourquoi [tex]\mathrm{ker} \ \varphi_n = p^n A_{n+1}[/tex] ?

Merci d'avance.

Fred

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Re : Surjection

Salut,

  Si [tex]\varphi_n(x)=0[/tex], c'est bien que [tex]x[/tex] est divisible par [tex]p^n[/tex] non?

Fred.

Anonyme007

Invité

Re : Surjection

Merci pour votre réponse, même si je ne l'ai pas bien compris.
Il s'agit en fait, de montrer d'abord que : [tex]p^n A_{n+1} \subset \mathrm{ker} \ \varphi_n[/tex]
En effet : Soit [tex]p^n x_{n+1} \in p^n A_{n+1} [/tex], alors [tex] \varphi_n ( p^n x_{n+1} ) = \varphi_n ( p^n ) \varphi_n ( x_{n+1} ) = 0 . x_{n} = 0[/tex]. Par conséquent : [tex]p^n A_{n+1} \subset \mathrm{ker} \ \varphi_n[/tex]
Maintenant, on montre que : [tex] \mathrm{ker} \ \varphi_n \subset p^n A_{n+1} [/tex].
En effet : Soit [tex]x_{n+1} \in \mathrm{ker} \ \varphi_n[/tex] :
Cela signifie que : [tex]\varphi_{n} ( x_{n+1} ) =0 [/tex]
C'est à dire que : [tex]x_{n+1} \simeq 0 \ \mathrm{mod} \ p^n \mathbb{Z}[/tex]
C'est à dire que : [tex]x_{n+1} \in p^n \mathbb{Z}[/tex].
Mais, je ne sais pas montrer que : [tex]x_{n+1} \in p^n \mathbb{Z} / p^n \mathbb{Z}[/tex].
Pouvez vous m'aider sur ce point svp ?
Merci d'avance.

Fred

Administrateur

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Re : Surjection

En réalité, tu fais une grosse confusion entre un entier et sa classe dans [tex]\mathbb Z/p^n \mathbb Z[/tex].

Par exemple, si tu pars de [tex]x\in \ker\varphi_n[/tex], [tex]x[/tex] est un élément de [tex]\mathbb Z/p^{n+1}\mathbb Z[/tex], ce n'est pas un entier, c'est une classe d'entiers modulo [tex]p^{n+1}\mathbb Z[/tex].
Il existe donc un entier [tex]a[/tex] tel que [tex]x=\bar a[/tex], la classe étant vue dans [tex]\mathbb Z/p^{n+1}\mathbb Z[/tex].
Puisque [tex]\varphi_n(x)=0[/tex], ceci signifie que la classe de [tex]x[/tex] modulo [tex]p^n\mathbb Z[/tex] est nulle. Autrement dit, ceci signifie que [tex]a[/tex] est divisible par [tex]p^n[/tex]. On peut donc écrire [tex]a=p^n b[/tex] avec [tex]b[/tex] un autre entier.
Et ceci implique que [tex]x=p^n \bar b[/tex].

Anonyme007

Invité

Re : Surjection

Ah oui, tu as raison, merci beaucoup.  :-)