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Blis3

Invité

fonction génératrice

Bonjour à tous, je ne parviens pas à répondre à cette question :

On lace n fois une pièce de monnaie pour laquelle la probabilité d'obtenir pile est p et celle d'obtenir face est q=1-p. On note X_n le nombre de fois où la pièce a changé de côté au cours de cette expérience. Pour tout i sur [[1,n]], on note P_i et respectvement F_i l'événement "on obtient pile (resp face) au i-ième lancer". On admet alors que :
P((X_n=k)etP_n)=1/2*(P((X_n-1=k)etP_n-1)+P((X_n-1=k-1)etF_n-1)
Pour tout s appartient à R, on pose : G_n(s)=Somme de k=0 à n-1 P(X_n=k)s^k. On précise que G_n(1)=1 et que G_n'(1)=E(X_n).

Montrer que si n>=2, alors pour tout réel s, G_n(s)=(1+s)/2G_n-1(s).

je pense qu'il faut d'abord faire le cas où n=2 puis où n>=3. En revache, je ne vois aucun lien pour arriver à l'égalité souhaitée. Je ne vois pas non plus le lien avec l'égalité proposée.

Merci de me guider !

Fred

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Re : fonction génératrice

Bonsoir,

Je partirai de la façon suivante, en exprimant [tex] P( (X_n=k))[/tex] en fonction de [tex]P(X_{n-1}=k)[/tex] et de [tex]P(X_{n-1}=k-1)[/tex] en tenant compte de la relation que tu as écrit (et aussi sans doute de sa jumelle, [tex]P(X_n=k\textrm{ et }F_n)[/tex].

F.

freddy

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Re : fonction génératrice

Salut,

ce qui me trouble dans ce sujet est le 1/2 de la formule à prendre comme un résultat établi.

---

De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

Fred

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Re : fonction génératrice

Salut,

  Je suis tout à fait d'accord avec Freddy, je ne vois pas non plus pourquoi il devrait y avoir un facteur 1/2 dans cette formule (ni d'ailleurs pourquoi on devrait admettre une formule semblable, qui se démontre facilement en écrivant qu'un événement est la réunion de deux événements disjoints).

Fred.

Camille23

Invité

Re : fonction génératrice

Bonjour,

Et un changement de côté a une probabilité fixe et indépendante des lancers antérieurs...

Dlzlogic

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Re : fonction génératrice

Bonjour,
Quelque soit le déséquilibrage de la pièce, elle va changer de côté autant de fois dans le sens P->F que F->P.(Plus ou moins 1)
D'autre part, on ne s'intéresse qu'au lancé précédent
Soient 2 tirages successifs, il y a 4 possibilités
PP
PF ->changement type 1
FF
FP ->changement type 2
Total 100%
Ij suffit de dire que ces 2 types de changements on la même probabilité.

freddy

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Re : fonction génératrice

Bonjour,
Quelque soit le déséquilibrage de la pièce, elle va changer de côté autant de fois dans le sens P->F que F->P.(Plus ou moins 1)
D'autre part, on ne s'intéresse qu'au lancé précédent
Soient 2 tirages successifs, il y a 4 possibilités
PP
PF ->changement type 1
FF
FP ->changement type 2
Total 100%
Ij suffit de dire que ces 2 types de changements on la même probabilité.

Ben non, le changement de côté = proba d'avoir pile ou face !

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Dlzlogic

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Re : fonction génératrice

@ Freddy,
Bonjour,
Si on part de Pile, si on se retrouve sur face au bout d'un certain temps, on est sur que le "changement de côté" est impair.
Par exemple (N+1) changements de Pile vers Face et N changements de Face vers Pile
Il est impossible d'avoir plus de changement de l'un vers l'autre que de l'autre vers l'un (à 1 près).
La variable étudié est un nombre de changement, il ne peut être que pair ou impair, donc une chance sur 2.
Dans la formule, le 1/2 sert à calculer la moyenne du complément à 1 de la somme des probabilités PP et FF.

freddy

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Re : fonction génératrice

Salut,

ben non, ça ne marche pas comme ça.
Suppose que la proba d'avoir Pile  p= 99 %. Penses-tu vraiment que le nombre de changement de côté soit à la longue équiprobable ?

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Dlzlogic

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Re : fonction génératrice

Bonjour Freddy,

Comment pourrait-il se faire que il y ait Pile (p=99%), puis un changement et que ce ne soit pas Face ?     
L'énoncé est très clair : "On note Xn le nombre de fois où la pièce a changé de côté au cours de cette expérience."
On étudie donc l'évènement "changement de côté".
Lors d'un jet de pièce, il y a 4 possibilités
La première lettre est le jet précédent
PP  P=99% * 99%
FF  p=1% * 1%
PF p=99% * 1%
FP p=1% * 99%
Dans les 2 derniers cas, il y a changement et on vérifie bien que la probabilité est égale.
Le nombre de changement PF et FP ne sont pas "équiprobables" mais "égaux +/-1".
Xn est le nombre de fois que la pièce a changé de côté. A une unité près, elle est passée X/2 fois de Pile à Face et X/2 fois de Face à Pile.

gymnast96

Invité

Re : fonction génératrice

Bonjour,

J'ai un exercice assez semblable à celui-ci et j'ai un peu de mal pour cette question aussi, donc je ne vais pas pouvoir vous aider pour ça...
En revanche, je pense savoir d'où vient le 1/2 dans la formule donnée. Il faut utiliser la formule des probabilités composées : P(AetB)=P(A)xP_A(B).

Si on prend A= Pn et  B= (Xn=k), puisque P(Pn)=1/2 et P_Pn(Xn=k)=P((Xn-1=k)etPn-1)+P((Xn-1=k-1)etFn-1) on a bien la formule donnée !

freddy

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Re : fonction génératrice

Bonjour,

J'ai un exercice assez semblable à celui-ci et j'ai un peu de mal pour cette question aussi, donc je ne vais pas pouvoir vous aider pour ça...
En revanche, je pense savoir d'où vient le 1/2 dans la formule donnée. Il faut utiliser la formule des probabilités composées : P(AetB)=P(A)xP_A(B).

Si on prend A= Pn et  B= (Xn=k), puisque P(Pn)=1/2 et P_Pn(Xn=k)=P((Xn-1=k)etPn-1)+P((Xn-1=k-1)etFn-1) on a bien la formule donnée !

Salut,

non, du tout, car [tex]\Pr(P_n) = p[/tex], pas 1/2 !!!
Mais je pense ne pas être très loin de la démonstration de la formule, il suffit juste que j'arrive à un peu plus me concentrer !

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gymnast96

Invité

Re : fonction génératrice

non, du tout, car Pr(Pn)=p , pas 1/2 !!!

Ah oui désolée, j'ai oublié un détail qui a toute son importance: dans mon exercice, il est précisé qu'à partir de cette question on suppose la pièce parfaitement équilibrée (et dans ce cas ça fonctionne non ?! )

freddy

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Re : fonction génératrice

Là, oui, bien sûr.

Pourrais tu poster tout le sujet de ton exo (en codant avec Latex, ce sera plus lisible- cf. bouton "insérer une équation"), ça peut en intéresser d'autres ? Merci par avance !

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Dlzlogic

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Re : fonction génératrice

Bonjour Freddy,
Je me demande si tu as bien compris qu'on changera autant de fois de pile vers face que de face vers pile.
On sait que quand un individu dort, il se retourne. Question : sachant qu'il préfère dormir sur le dos, se retournera-t-il plus souvent côté_ventre -> côté_dos ou l'inverse, sachant qu'il n'est pas somnambule, c'est à dire qu'il ne va pas se lever alors qu'il est sur le ventre pour se recoucher pour se mettre sur le dos. Il n'y aurait alors pas de retournement, conformément à l'énoncé.
D'autre part, l'énoncé précise bien qu'on s'intéresse à "changer de face" et non "être sur telle face".

freddy

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Re : fonction génératrice

Salut,

pour mettre les choses au point, on a, pour [tex]k \in [1,\; n-2][/tex] :

[tex]\Pr((X_n=k) \cap P_n)=p\times \left( \Pr((X_{n-1}=k) \cap P_{n-1}) +  \Pr((X_{n-1}=k-1) \cap F_{n-1})\right)[/tex]

[tex]\Pr((X_n=k) \cap F_n)=(1-p) \times \left( \Pr((X_{n-1}=k) \cap F_{n-1}) +  \Pr((X_{n-1}=k-1) \cap P_{n-1})\right)[/tex]

permettant de calculer [tex]\Pr(X_n=k)[/tex],

ainsi que :

[tex]\Pr((X_n=0 )=p\times \Pr((X_{n-1}=0) \cap P_{n-1}) + (1-p)\times \Pr((X_{n-1}=0) \cap F_{n-1})[/tex]

[tex]\Pr((X_n=n-1 )=(1-p)\times \Pr((X_{n-1}=n-2) \cap P_{n-1}) + p\times \Pr((X_{n-1}=n-2) \cap F_{n-1})[/tex]

pour compléter la distribution de la va [tex]X_n[/tex].

Ensuite, si on suppose que [tex]p=\frac{1}{2}[/tex], on retrouve la formule du texte et on peut construire la fonction génératrice de [tex]X_n[/tex] (dans sa généralité ou pour le cas particulier).

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