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#1 02-08-2015 11:19:32

Terces
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On l'encercle !

Bonjour,
si je ne me trompe pas, c'est une question plutôt spéciale et toujours selon cette condition, ceux qui la traiteront comprendront pourquoi ;)

Bon, vous avez un cercle de rayon 10cm, on peut évidemment faire n petits cercles avec un certain rayon tels que l'aire totale des petits cercles soit égale à celle du grand cercle.

La question: en suivant cette condition de l'égalité d'aire entre tous les petits cercles et celle du grand, combien de petits cercles(et quel est leur rayon) faut-il pour que ils "encerclent" le grand ?

"Encercler", c'est à dire que chaque petit cercle en touche 2 autres plus le grand cercle.


La somme des inverses de la suite de Sylvester converge vers 1 plus vite que toute autre série somme infinie d'inverses d'entiers convergeant vers 1.

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#2 02-08-2015 16:03:27

al berto
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Re : On l'encercle !

Salut,

solution ?

J'ai trouvé [tex]16[/tex]cercles et [tex]cm  2.50[/tex] leur rayon.

ciao.
aldo


L'intensità del prurito è sempre inversamente proporzionale alla raggiungibilità del punto. 

Legge 28

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#3 02-08-2015 19:33:53

Terces
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Re : On l'encercle !

al berto a écrit :

Salut,

solution ?

J'ai trouvé [tex]16[/tex]cercles et [tex]cm  2.50[/tex] leur rayon.

ciao.
aldo

Salut,

hum, je penses que je me suis bel et bien trompé

à vrai dire, je pensait qu'il n'y avait pas de solution mais grace à ta proposition je viens tout d'abords de voir que ma "formule" était en partie fausse. Pour le moment t'a solution me parait cohérente (peu de diférences avec des calculs simplifiés...) si mon cerveau me le permet, j'essayerais de confirmer ou réfuter ton résultat (ce soir au plus tôt).


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#4 03-08-2015 10:15:54

Terces
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Re : On l'encercle !

Terces a écrit :

Salut,

hum, je penses que je me suis bel et bien trompé

à vrai dire, je pensait qu'il n'y avait pas de solution mais grace à ta proposition je viens tout d'abords de voir que ma "formule" était en partie fausse. Pour le moment t'a solution me parait cohérente (peu de diférences avec des calculs simplifiés...) si mon cerveau me le permet, j'essayerais de confirmer ou réfuter ton résultat (ce soir au plus tôt).

Re, dis moi si tu es d'accord:

contestation

l'aire c'est ok mais sur ce schéma tu peux voir deux des 16 cercle collées à notre grand cercle, on peux y calculer un angle particulier et il me semble que si tes 16 cercles "encerclent" réellement notre grand cercle alors si on fait 16 fois cet angle, on est censé obtenir 2pi.
679887contestationonlencercle.jpg

avec le théorème d'Al-Kashi, je trouve un angle de :  cos^-1(23/25)
ce qui me donne *16:
6,443453...   or   2pi ca fait 6,28319...

Voila, n'hésite pas à me dire si j'ai fait une erreur.


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#5 03-08-2015 13:02:19

yoshi
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Re : On l'encercle !

Bonjour,

Voilà ce qu'a dû faire Alberto :

Soir R le rayon du grand cercle et r celui du du petit cercle.
Aire du grand cercle [tex/tex]
Aire d'un petit cercle [tex]\pi r^2[/tex]
Aire de n petit cercles
On doit donc avoir : [tex]n\pi r^2=\pi R^2[/tex]
soit [tex] r=\frac{R\sqrt n}{n}[/tex]
Et si je prends n=16 et R=10, je trouve :
[tex]r=\frac{10 \sqrt{16}}{16}=2,5[/tex]

Mais
150803011037175702.jpg
Le "grand cercle" est noir de centre C de rayon R.
Le cercle des centres des petits cercles est vert de Rayon R+r.
Le cercle de centre C et de rayon CC1=CC2=CC3=(R+r)/2 :  utilisé pour placer les tangentes issues de C aux petits cercles rouges de rayon r.
Si je m'abuse : ils sont tous tangents 2 à 2 par construction.
De plus, je pense ils sont tous tangents au "grand cercle".
"Penser n'est pas suffisant, il faudrait que le prouve pour les cercles autres que (O1)...
Chaque angle au centre [tex]\widehat{O_i C T_{i+1}}[/tex] et vaut la moitié de [tex]\widehat{O_i C O_{i+1}}[/tex]
Avec n cercles j'obtiens polygone régulier de n côtés...
D'où [tex]\widehat{O_i C T_{i+1}}=\frac{\pi}{n}[/tex]. Les triangles  [tex]C O_i T_{i+1}[/tex] sont rectangles en [tex]T_{i i+1}[/tex]
Le rayon r est donc tel que
[tex]r=(R+r)\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)[/tex]

Et après, j'ai fait des calculs immondes à partir de cette formule et de celle en spoiler, pour trouver n mais j'aboutis à qq ch de faux....
Je reprendrai plus tard !

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#6 03-08-2015 14:23:19

Terces
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Re : On l'encercle !

yoshi a écrit :

Bonjour,

Voilà ce qu'a dû faire Alberto :

Soir R le rayon du grand cercle et r celui du du petit cercle.
Aire du grand cercle [tex/tex]
Aire d'un petit cercle [tex]\pi r^2[/tex]
Aire de n petit cercles
On doit donc avoir : [tex]n\pi r^2=\pi R^2[/tex]
soit [tex] r=\frac{R\sqrt n}{n}[/tex]
Et si je prends n=16 et R=10, je trouve :
[tex]r=\frac{10 \sqrt{16}}{16}=2,5[/tex]

Salut,
pourquoi 16 ?
j'ai peut-être une idée pour "résoudre" le problème, j'y travaillerais ce soir.


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#7 03-08-2015 14:56:42

al berto
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Re : On l'encercle !

Bonjour,

Pour moi

ce qu'il ne revient pas c'est celui-ci:
La mesure du diamètre d'un petit cercle est[tex]cm 5[/tex] .
[tex]cm 5 * 16 = cm 80[/tex]
le mesure du diamètre du nouveau grand cercle,  (vert, voir  illustration de yoschi), il est  [tex]20 + 5 = cm 25 [/tex]
[tex]cm 25 *\pi= cm 78,5398[/tex] c' est environ [tex]cm1.5[/tex] de différence.
Mais la première fois on traite du périmètre d'un polygone de 16 côtés, la seconde il s'agit d'une ciconférence...

Mah! Qui sait?
ciao.
aldo

Dernière modification par al berto (04-08-2015 21:59:05)


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#8 03-08-2015 22:48:35

Terces
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Re : On l'encercle !

Re,

mon idée de preuve mais qui l'a l'air compliquée...

Avec la formule du rayon en fonction de n et celle d'Al kashi je trouve qui faudrait faire une récurrence sur ce monstre:

cos^-1((-(20*rac(n)/n)² + 2*((10+(10*rac(n))/n)²) / 2(10+(10*rac(n)/n)²) * n et montrer que ce n'est jamais égal à 2pi.
ça croit constamment... or ca ne passe pas par 2 pi donc... mais ce n'est pas prouvé.

cependant, il y a peut être un moyen de passer outre la récurrence en montrant que le cos^-1 d'une partie du "monstre" ne pourra jamais donner 2pi/n...

Dernière modification par Terces (04-08-2015 20:51:55)


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#9 04-08-2015 19:11:39

yoshi
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Re : On l'encercle !

Bonsoir,

Pour l'instant, je vois que tu persistes avec le théorème d'Al Kashi, et je ne vois toujours pas pourquoi...
La formule donnée en spoiler au post #5 est exacte.
J'ai trouvé d'autres valeurs de n.
Et je me suis rendu compte que ladite formule ne donne pas de certitude que les petits cercles correspondants qui "encerclent le grand cercle" soient deux à deux tangents.
Cette condition/précision manque d'ailleurs dans l'énoncé...
Exemple : si je dispose autour du grand cercle 4 petits de rayon 5 cm, la somme de leurs aires sera bien égale à celle du grand et pourtant il est évident qu'ils ne peuvent ne pas être  2 à 2 tangents : il suffit d'en placer un aux 4 points cardinaux.
A la suite de quoi, j'ai revu mes calculs théoriques, et j'ai fait le test et n = 16 (proposition Albeto) ne semble pas être une réponse valable.

Mes calculs théoriques

Dans le triangle [tex]CO_1T_12[/tex], l'angle au centre mesure [tex]\frac{\pi}{n}[/tex]
et [tex]r = (R+r)\sin\frac{\pi}{n}[/tex]
Je développe :
[tex]r = (R+r)\sin\frac{\pi}{n}=R\sin\frac{\pi}{n}+r\sin\frac{\pi}{n}\;\Leftrightarrow\;r-r\sin\frac{\pi}{n}=R\sin\frac{\pi}{n}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow\;r\left(1-\sin\frac{\pi}{n}\right)=R\sin\frac{\pi}{n}\;\Leftrightarrow\; r=\dfrac{R\sin\frac{\pi}{n}}{1-\sin\frac{\pi}{n}}[/tex]
Or la condition posée est [tex] n\pi r^2=\pi R^2[/tex] soit  [tex]r\sqrt n = R [/tex]

Je remplace.
[tex]\sqrt n\times\dfrac{R\sin\frac{\pi}{n}}{1-\sin\frac{\pi}{n}}=R\;\Leftrightarrow\;\sqrt n\times\dfrac{\sin\frac{\pi}{n}}{1-\sin\frac{\pi}{n}}=1 [/tex]
Ou encore
[tex]n=\left(\frac{1-\sin\frac{\pi}{n}}{\sin\frac{\pi}{n}}\right)^2[/tex]
Equation que je ne sais pas résoudre mais le test des valeurs de n (entier) avec Python  entre 1 et 40 ne m'a pas donné de valeurs distantes de 0.01..

@+


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#10 04-08-2015 20:37:27

amatheur²
Invité

Re : On l'encercle !

#11 04-08-2015 20:48:31

Terces
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Re : On l'encercle !

yoshi a écrit :

Bonsoir,

Pour l'instant, je vois que tu persistes avec le théorème d'Al Kashi, et je ne vois toujours pas pourquoi...
La formule donnée en spoiler au post #5 est exacte.
J'ai trouvé d'autres valeurs de n.
Et je me suis rendu compte que ladite formule ne donne pas de certitude que les petits cercles correspondants qui "encerclent le grand cercle" soient deux à deux tangents.
Cette condition/précision manque d'ailleurs dans l'énoncé...
Exemple : si je dispose autour du grand cercle 4 petits de rayon 5 cm, la somme de leurs aires sera bien égale à celle du grand et pourtant il est évident qu'ils ne peuvent ne pas être  2 à 2 tangents : il suffit d'en placer un aux 4 points cardinaux.
A la suite de quoi, j'ai revu mes calculs théoriques, et j'ai fait le test et n = 16 (proposition Albeto) ne semble pas être une réponse valable.

Mes calculs théoriques

Dans le triangle [tex]CO_1T_12[/tex], l'angle au centre mesure [tex]\frac{\pi}{n}[/tex]
et [tex]r = (R+r)\sin\frac{\pi}{n}[/tex]
Je développe :
[tex]r = (R+r)\sin\frac{\pi}{n}=R\sin\frac{\pi}{n}+r\sin\frac{\pi}{n}\;\Leftrightarrow\;r-r\sin\frac{\pi}{n}=R\sin\frac{\pi}{n}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow\;r\left(1-\sin\frac{\pi}{n}\right)=R\sin\frac{\pi}{n}\;\Leftrightarrow\; r=\dfrac{R\sin\frac{\pi}{n}}{1-\sin\frac{\pi}{n}}[/tex]
Or la condition posée est [tex] n\pi r^2=\pi R^2[/tex] soit  [tex]r\sqrt n = R [/tex]

Je remplace.
[tex]\sqrt n\times\dfrac{R\sin\frac{\pi}{n}}{1-\sin\frac{\pi}{n}}=R\;\Leftrightarrow\;\sqrt n\times\dfrac{\sin\frac{\pi}{n}}{1-\sin\frac{\pi}{n}}=1 [/tex]
Ou encore
[tex]n=\left(\frac{1-\sin\frac{\pi}{n}}{\sin\frac{\pi}{n}}\right)^2[/tex]
Equation que je ne sais pas résoudre mais le test des valeurs de n (entier) avec Python  entre 1 et 40 ne m'a pas donné de valeurs distantes de 0.01..

@+

Salut, je peux quasiment te dire qu'il n'y a pas de solution si mes calculs sont exactes(mais sans preuve pour le moment), et c'est pour n=15 que on est le "plus proche" toujours selon cette condition,
j'utilise Al-Kashi car c'est la seule idée qui m'est venue^^(en gros)

PS: je n'ai pas bien compris ce qu'il manquait dans l'énoncé ?

voila ce que j'obtiens avec ma formule (sur python):

>>>
1.0471975511965979 pour n= 1
1.7083143455699044 pour n= 2
2.2484065962524404 pour n= 3
2.7186952756329754 pour n= 4
3.141592653589793 pour n= 5
3.5294424673628066 pour n= 6
3.889945756052579 pour n= 7
4.228306641239349 pour n= 8
4.548244592557416 pour n= 9
4.852531041769178 pour n= 10
5.143298721808513 pour n= 11
5.422231684437977 pour n= 12
5.690688002569066 pour n= 13
5.949782272257029 pour n= 14
6.200442969904621 pour n= 15
6.443453465290584 pour n= 16
6.679482060152637 pour n= 17
6.9091044499827925 pour n= 18
7.132820827102691 pour n= 19
7.351069112883454 pour n= 20
7.5642353412354435 pour n= 21
7.772661910514031 pour n= 22
7.976654216564353 pour n= 23
8.176486039717732 pour n= 24
8.37240396098447 pour n= 25
8.564631013485116 pour n= 26
8.753369725314846 pour n= 27
8.938804673623457 pour n= 28
9.121104642749552 pour n= 29
9.300424459070777 pour n= 30
9.476906559959469 pour n= 31
9.650682342550905 pour n= 32
9.821873329014718 pour n= 33
9.990592177996826 pour n= 34
10.156943566384834 pour n= 35
10.321024961186296 pour n= 36
10.482927297832687 pour n= 37
10.642735578430404 pour n= 38
10.80052940122885 pour n= 39
10.956383430743546 pour n= 40
>>>

on voit que 2*pi n'est pas atteint (pour ces valeurs), même si ce n'est pas prouvé c'est évident que ce n'est avec plein de tous petits cercle qu'on a la solution...

Ce n'est pas très rigoureux mais toujours si j'ai juste jusqu'à présent, voila une démonstration pour dire que il n'y aura pas de solution au dessus de n=40 (bien que ce soit évident):

tout d'abords, le rayon de nos petit cercle est:
r=10/rac(n)   or cette suite est décroissante (car inverse d'une suite croissante * 10)
on sait donc que à partir de n>=40 tous les petits cercles devraient dans tous les cas se trouver entre le grand cercle et celui de rayon 10+3,2 (3,2 étant le diamètre nécessaire(arrondie bien au supérieur) pour n=40 et vu que les autres rayons seront encore plus petits, pas de problème...)
donc ca nous fait que si les petit cercle encerclent ll grand parfaitement, il faudrait comme condition évidente que leur aire soit comprise entre nos deux "grands cercles" or ceci est faux car pi*13,2²-pi*10² fait environ 234 or notre ensemble de cercles a une aire de pi*10² qui ne rentre évidemment pas entre nos deux cercles même en "broyant" nos petits cercles donc on en déduit que n>= 40 il n'y a pas de solutions et vu que le reste est traité "à la main" je penses que c'est bon?

Voila, j'espère que ce n'est pas faux^^

Dernière modification par Terces (04-08-2015 22:53:48)


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#12 04-08-2015 22:22:21

yoshi
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Re : On l'encercle !

Re,

1ere colonne n, 2e colonne mon carré de quotient :
1 6.667734470283927e+31
2 0.0
3 0.023932256574830297
4 0.17157287525381004
5 0.4918239575917562
6 1.0000000000000004
7 1.7024113684977544
8 2.6021752652406835
9 3.7010233700868573
10 5.000000000000001
11 6.4997745033646375
12 8.200796619962967
13 10.103380154182592
14 12.207750943219358
15 14.514075777522995
16 17.02248057812216
17 19.733062228702035
18 22.6458965112391
19 25.761043567853573
20 29.078551746062082

Même constat : c'est n = 15 qui se rapproche me plus, mais ce n'est pas une bonne valeur : pas d'égalité : cf mon spoiler ci-dessus.
Et donc 16 ne convient pas.
On doit pouvoir montrer que :
[tex]\left(\frac{1-\sin\frac{\pi}{n}}{\sin\frac{\pi}{n}}\right)^2[/tex] n'est jamais entier, SAUF pour n=2 et n=6, bien sûr (ça m'a échappé hier soir...)

Si le carré ne l'est pas, alors [tex]\frac{1-\sin\frac{\pi}{n}}{\sin\frac{\pi}{n}}[/tex] non plus.
[tex]\frac{1-\sin\frac{\pi}{n}}{\sin\frac{\pi}{n}}=\frac{1}{\sin\frac{\pi}{n}}-1[/tex] non plus.
et [tex]\frac{1}{\sin\frac{\pi}{n}}[/tex] non plus pour commencer...
Ce qui mettrait fin à tous les calculs approchés de toutes sortes.

@+

[EDIT][tex]\frac{1}{\sin\frac{\pi}{n}}[/tex]  n'est entier que si[tex] \sin\frac{\pi}{n}[/tex]  peut s'écrire sous la forme [tex]\frac 1 k[/tex] avec [tex] k\; \in\; \mathbb{N}^*[/tex]

Dernière modification par yoshi (05-08-2015 06:53:12)


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