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Ninou

Invité

Forme bilinéaire non dégénérée

Bonsoir à tous,

Je suis très déprimé aujourd'hui, car je ne suis pas arrivé à comprendre le sens de la notion : forme bilinéaire non dégénérée.
Je sais ce qu'est une forme bilinéaire, mais je n'arrive pas comprendre la notion de non dégénérescence d'une forme bilinéaire.
Pouvez vous me donner un exemple de forme bilinéaire qui est non dégénérée ? Pouvez vous me donner aussi toutes les méthodes possibles qui permettent d'établir qu'une forme bilinéaire est non dégénérée ( ou sur l'exemple que vous proposez si vous me permettez ) ?

Merci d'avance.

Invitééé

Invité

Re : Forme bilinéaire non dégénérée

Oui on dit qu'une forme bilinéaire f(x,y) est dégénérée s'il existe a non nul tel que pour tout x, f(a,x) = 0
En dimension 2 avec x = (x1,x2), y = (y1,y2) :

-> f(x,y) = x1.y1 + x2.y2  (produit scalaire)
C'est une forme bilinéaire non dégénérée car si pour tout x, f(a,x) = 0 alors en particulier f(a,a) = 0 = a1² + a2² donc a1 = a2 = 0

-> f(x,y) = x1.y1
C'est une forme bilinéaire dégénérée :  si a = (0,1) alors pour tout x, f(a,x) = a1.y1 = 0

Des exemples plus compliqués :

f(x,y) = x1.y1 - x1.y2 - x2.y1 + x2.y2
En posant a = (1,1)
f(a,y) = y1 - y2 - y1 + y2 = 0
==> forme dégénérée

En général la forme est dégénérée quand la matrice de la forme quadratique associée est non inversible!

Ninou

Invité

Re : Forme bilinéaire non dégénérée

Merci de m'avoir répondu @Invitééé.
En fait, j'ai appris la notion de non dégénérescence d'une forme bilinéaire il y'a très longtemps quant j'étais encore étudiant, maintenant je suis dans les 30 ans et j'ai presque tout oublié, et ça me déprime un peu.
J'ai compris tes explications en entier mais je n'ai pas compris la méthode utilisée dans un cours que je suis entrain d'apprendre, là voici :
Let [tex] M[/tex] be a compact, [tex]n[/tex]-dimentional manifold. Then, the bilinear pairing :[tex] \displaystyle \int_M \ : \ \mathcal{H}^r ( M ) \times  \mathcal{H}^{n-r} ( M ) \to \mathbb{R}[/tex] that maps [tex]( \alpha , \beta ) \to \displaystyle \int_M \alpha \wedge \beta [/tex] is non degenerate.
Proof :
We may assume without loss of generality that [tex] M[/tex] is a Riemannian manifold. Then the Hodge star operator commutes with the Laplacian and defines an isomorphism : [tex]\mathcal{H}^r (M ) \simeq ( \mathcal{H}^{n-r} (M) )^* [/tex].
Hence, if[tex] 0 \neq \alpha \in \mathcal{H}^r (M)[/tex] , we have : [tex]* \alpha \in \mathcal{H}^{n-r} (M)[/tex] and : [tex]\displaystyle \int_M \alpha \wedge * \alpha = ( \alpha , \alpha ) \neq 0[/tex].
Voiçi donc, le paragraphe que je n'ai pas compris, quelle méthode a utilisé l'auteur dans cette preuve pour établir la non degenerescence de la forme bilinéaire [tex]\displaystyle \int_M[/tex] ?

Merci d'avance pour votre aide.