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prométhée

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racine d'un nombre décimal

Bonjour,
Comment extraire la racine ni!ème d'un nombre décimal
exemples :racine 5 ième  de 7,5
Racine 7 ième de 175,0654
Merci pour votre aide
prométhée

Roro

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Messages : 1 565

Re : racine d'un nombre décimal

Bonsoir,

Question naïve : comment tu "extrais" la racine carrée de 2 ?, et la racine cubique de 2 ?
Parce que je serai tenté de répondre à ta question en disant que pour extraire la racine n-ième de 12,43, tu fais le quotient entre la racine n-ième de 1243 et la racine n-ième de 1000...

Roro.

tibo

Membre expert

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Messages : 1 097

Re : racine d'un nombre décimal

Salut,

Si j'ai bien compris, ce que tu cherches c'est d'extraire une racine n-ième "à la main".

Autrement dit, soit [tex]A[/tex] un nombre décimal et [tex]n[/tex] un entier naturel non nul. On cherche la forme décimale (nombre à virgule) de [tex]\sqrt[n]{A}[/tex].

Pour commencer, il faut savoir qu'en général, on ne pourra pas écrire une valeur exacte de [tex]\sqrt[n]{A}[/tex] sous forme décimale. Dans la plupart des cas, tout ce qu'on pourra avoir c'est une valeur approchée. En effet la forme décimale d'une racine n-ième admet le plus souvent une infinité de chiffres après la virgule, et pire encore, est irrationnelle (c'est à dire qu'on ne peut pas l'écrire sous forme de fraction) et donc il y aura pas de périodicité.
Par exemple [tex]\frac{1}{7}=0.142\ 857\ 142\ 857\ 142\ 857...[/tex] que l'on note [tex]0.\overline{142\ 857}[/tex], alors que [tex]\sqrt{2}=1.414\ 213\ 562...[/tex].

Une méthode "simple" et efficace est d'utiliser la méthode de Newton.
La méthode de Newton consiste à définir une suite par récurrence qui va se rapprocher de plus en plus de la valeur exacte de [tex]\sqrt[n]{A}[/tex].
[tex]\left\{ \begin{array}{l}
x_0\in \mathbb{R} \text{ pas trop éloigné de } \sqrt[n]{A}\\
\displaystyle x_{k+1} = \frac{1}{n} \left[{(n-1)x_k +\frac{A}{x_k^{n-1}}}\right]
\end{array} \right.[/tex]

Exemple :
Calcul d'une valeur approchée de [tex]\sqrt[5]{17}[/tex]
[tex]x_0=1[/tex]
[tex]x_1=\frac{1}{5} \left[{(5-1)\times 1 +\frac{17}{1^{5-1}}}\right]=\frac{21}{5}=4.2[/tex]
[tex]x_2=\frac{1}{5} \left[{(5-1)\times 4.2 +\frac{17}{4.2^{5-1}}}\right]\simeq 3.370926517...[/tex]
[tex]x_3=\frac{1}{5} \left[{(5-1)x_2 +\frac{21}{x_2^{5-1}}}\right]\simeq2.723073088...[/tex]
[tex]x_4=\frac{1}{5} \left[{(5-1)x_3 +\frac{21}{x_3^{5-1}}}\right]\simeq2.240294518...[/tex]
[tex]x_5=\frac{1}{5} \left[{(5-1)x_4 +\frac{21}{x_4^{5-1}}}\right]\simeq1.927212204...[/tex]
[tex]x_6=\frac{1}{5} \left[{(5-1)x_5 +\frac{21}{x_5^{5-1}}}\right]\simeq1.788237892...[/tex]
[tex]x_7=\frac{1}{5} \left[{(5-1)x_6 +\frac{21}{x_6^{5-1}}}\right]\simeq1.763079667...[/tex]
[tex]x_8=\frac{1}{5} \left[{(5-1)x_7 +\frac{21}{x_7^{5-1}}}\right]\simeq1.762340967...[/tex]
[tex]x_9=\frac{1}{5} \left[{(5-1)x_8 +\frac{21}{x_8^{5-1}}}\right]\simeq1.762340347...[/tex]
[tex]x_{10}=\frac{1}{5} \left[{(5-1)x_9 +\frac{21}{x_9^{5-1}}}\right]\simeq1.762340347...[/tex]
...
Pour tous ces calculs j'ai un peu triché en utilisant Python, mais tous les calculs sont faisables à la main,... mais c'est quand même très long.

▼Algo Pyhton

print("Calcul de racine n-ieme de A")
print("n=")
n=input()
print("A=")
A=input()

x=1.
for i in range(15):
    x=((n-1)*x+A/x**(n-1))/n
    print("%.20f"%(x))
 

Avantages
- Très facilement implémentable
- Convergence quadratique (Ce qui signifie, en gros, qu'à chaque étape on gagne 2 chiffres après la virgule de précision.

Voilà, j'espère t'avoir répondu

Dernière modification par tibo (22-07-2015 13:50:46)

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A quoi sert une hyperbole?
----- A boire de l'hypersoupe pardi !