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#1 26-05-2015 12:33:02
- sotsirave
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équation diff
Bonjour
Je voudrais la solution générale de l'équation:
h' = D + a [tex]\sqrt h[/tex] ; la variable t € [0, + infini[ et D >0 , a <0.
J'ai posé y = h - Dt et j'ai obtenu une équation de la forme :
y'y'' + Ay' + B = 0 avec A = -a²/2 et B = -a²D/2.
J'en suis là. Pouvez-vous m'aider?
Merci
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#2 26-05-2015 13:38:05
- Roro
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- Messages : 1 563
Re : équation diff
Bonjour,
Comment sais-tu qu'il existe une et une seule solution ?
Que veux-tu dire par la solution générale ?
Si on oublie ces questions préliminaires, l'équation que tu décris est autonome, c'est-à-dire de la forme h'(t) = f(h(t)). Tu peux donc la résoudre (à condition de ne pas diviser par 0...) en cherchant une primitive de 1/f(X), puis en exibant la réciproque (existence...) de cette primitive ! Tout cela est théorique et ici je doute qu'on puisse le faire de façon explicite.
Roro.
Dernière modification par Roro (26-05-2015 13:39:00)
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#3 26-05-2015 14:16:53
- sotsirave
- Membre
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- Messages : 203
Re : équation diff
Bonjour roro
Cette équation correspond à un problème de physique qui, en principe, a une seule solution .
C'est h, la hauteur du niveau d'un liquide alimenté de façon constante et qui s'échappe par une bonde(la baignoire qui fuit...).
La solution générale est l'expression de h(t) sans tenir compte de la condition initiale h(0) =1 .De plus, on sait qu' il existe t1 tel que :
si t =t1 ou t>t1 alors h(t) = (0.75)². la solution de l'équation doit donner t1.
S'il n'est pas possible d'exprimer h(t) , je ne sais pas résoudre par approximation.
Que représentent f et X dans ta réponse?
merci
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#4 27-05-2015 22:33:47
- JJ
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- Messages : 109
Re : équation diff
Salut,
C'est une équation différentielle à variables séparées, c'est à dire du genre dy/dx=f(y).
Pour la résoudre on intègre : dx=dy/f(y)
ce qui donne x=fonction de y +constante. Cette fonction est une primitive de 1/f(y).
Dernière modification par JJ (27-05-2015 22:34:09)
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#5 28-05-2015 00:45:23
- sotsirave
- Membre
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Re : équation diff
Bonsoir JJ
OK . J''arrive à la convergence de l'intégrale:T = [tex] \int_1^H \frac{dh}{(a√h +D)}[/tex] quand H -->D²/a² (H>D²/a² )
D²/a² = 0.5625 D>0 et a<0.
Remarque : l'intégrale définie [tex] \int_1^{0.574} \frac{dh}{(a√h +D)}[/tex]# 237j 14h.
Vraisemblablement quand h-->0.5625, t-->+infini
Comment le démontrer?
Dernière modification par sotsirave (28-05-2015 00:46:47)
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