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htina

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problème aux limites

Bonjour,
j'ai le problème aux limites suivant:
[tex]
\begin{cases}
& y'' + \lambda y &= 0,\\
& y(0)-2 y(2 \pi)&=0,\\
& y'(0)-y'(2 \pi)&=0
\end{cases}
[/tex]

Comment voir s'il existe ou non des valeurs propres complexes à ce problème? Je n'en n'ai vraiment aucune idée.

Je vous remercie par avance pour votre aide.

Fred

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Re : problème aux limites

Bonsoir,

  Tu peux prendre exactement la même méthode que celle que tu as déjà employée dans d'autres exercices, mais cette fois, tu cherches les solutions complexes. Tu ne t'embêtes donc pas avec des cosinus et des sinus dans ta solution, tu n'as que des exponentielles...

F.

htina

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Re : problème aux limites

Mais dans la méthode avec \lambda \in \R, quand \lambda > 0 par exemple, je prend \lambda = \alpha^2 où \alpha \in \R^* et je travail, mais là, je ne sais pas par où commencer. Aidez moi à commencer svp

htina

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Re : problème aux limites

Je ne comprend pas. On pose [tex]y(x)= e^{rx}[/tex], et on obtient l'équation algébrique [tex]r^2 + \lambda = 0[/tex] où [tex]\lambda \in \mathbb{C}[/tex]. Quelles sont les solutions de l'équation algébrique dans ce cas? S'il vous plaît.

Fred

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Re : problème aux limites

Je ne voudrais pas dire, mais tu poses des questions niveau Master, et ça, c'est un problème de terminale....
Tu sais résoudre [tex]z^2=a[/tex] non????

htina

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Re : problème aux limites

Oui, je sais résoudre cette équation.
On a l'équation algébrique [tex]r^2 + \lambda = 0[/tex], où [tex]\lambda \in \mathbb{C}[/tex]. On pose [tex]r = x+ i y[/tex], et [tex]\lambda = \alpha + i \beta[/tex].
[tex]r^2 = - \lambda[/tex] implique [tex](x+iy)^2 = - \alpha - i \beta = x^2+y^2 + 2 i x y[/tex]
On a deux équations: [tex]x^2 - y^2 = Re(-\lambda)[/tex], et [tex]x^2 + y^2=|-\lambda|[/tex]. Ainsi, on déduit que:
[tex]x^2=\dfrac{Re(-\lambda) + |-\lambda|}{2}[/tex] et[tex] y^2 = \dfrac{|-\lambda| - Re(-\lambda)}{2}[/tex]
ce qui implique que
[tex]x=\sqrt{\dfrac{Re(-\lambda)+|-\lambda|}{2} }[/tex] ou [tex] x=- \sqrt{\dfrac{Re(-\lambda)+|-\lambda|}{2} }[/tex] et [tex]x=\sqrt{\dfrac{Re(-\lambda)-|-\lambda|}{2} }[/tex] ou  [tex]x=- \sqrt{\dfrac{Re(-\lambda)-|-\lambda|}{2} }[/tex]
Du coup, je suis perdue parce que je ne sais pas comment conclure sur les deux solutions de l'équation algébrique, et par conséquent, sur les deux solutions linéairement indépendantes de l'équation differentielle.

2- la solution générale de l'équation est [tex]y(x)=A e^{irx} + B e^{-irx}[/tex] où [tex]A[/tex] et [tex]B[/tex] sont deux constante réelles constantes.
Après ca,on cherche[tex] A[/tex] et [tex]B[/tex] pour que [tex]y[/tex] vérifie les conditions aux limites.
[tex]y(0)-2 y(2 \pi)=0[/tex] implique que[tex] A+B-2A e^{i2 \pi r} - 2 B e^{-2 \pi i r} = 0[/tex] qui signifie que
[tex]A(1 - 2 e^{2 \pi i r}) + B(1 - 2 e^{-2 \pi i r})=0[/tex]
et
[tex]y'(0)-y'(2 \pi)=0[/tex] implique que[tex] ir[A(1 - e^{2 i \pi r}) + B(1 -e^{-2 i \pi r})]=0[/tex]

Pour trouver A et B, il faut donc résoudre ce système à deux équations. Avez vous une méthode simple pour ca? .ce qui me bloque, c'est la présence de i et de $r$ qui est complexe. Si on travaillais avec des réels, et sans i, j'aurais calculé le détérminant pour voir: si le determinant est nul, alors la solution est trivial, sinon, il y'a une infinité de solution. Mais dans ce cas, qu'est ce qu'on peut faire pour résoudre ce système? Merci de m'aider.

Dernière modification par htina (14-05-2015 21:40:42)

Fred

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Re : problème aux limites

Le fait que l'on travaille sur le corps des réels ou des complexes ne change rien aux méthodes de résolution d'un système.

htina

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Re : problème aux limites

Alors voilà. On obtient le système:
[tex]$A(1-2e^{2 \pi s}) + B(1-2 e^{-2 \pi s})=0$[/tex] et [tex]$s[A(1-e^{2 \pi s}) + B(e^{-2 \pi s} -1)=0$[/tex]
où [tex]s= i r \in \mathbb{C}[/tex], en utilisant le fait que [tex]s \neq 0[/tex].
Le déterminant vaut [tex]det=-6+3 e^{-2 \pi s} + 3 e^{2 \pi s}[/tex].
[tex]det = 0[/tex] implique que (en multipliant par [tex]e^{2 \pi s}[/tex] et en divisant par[tex] 3[/tex], on obtient que[tex] -2 e^{2 \pi s} + 1 + e^{4 \pi s} = 0[/tex] ce qui implique que[tex] (1 - e^{2 \pi s})^2 = 0[/tex] qui implique que [tex]2 \pi s=0[/tex], ce qui impossible puisque [tex]s \neq 0[/tex].
Le problème n'admet donc pas de valeurs propres complexes.
[tex]e^{2 \pi s} = e^{2 \pi (\alpha + i \beta)} = e^{2 \pi \alpha} [\cos(2 \pi \beta) + i \sin (2 \pi \beta)][/tex]
Dans le cas où [tex]$\alpha=0$[/tex] et [tex]\beta\in \mathbb{Z}[/tex], alors [tex]e^{2 \pi s} = 1[/tex]. Donc, le déterminant n'est pas nul, quand
[tex]s=ir= i \beta[/tex] où [tex]\beta \in \mathbb{Z}[/tex] qui implique que [tex]r  \in \mathbb{Z}^*[/tex] ce n'est pas un nombre de la forme [tex]x+iy[/tex]. [tex]\mathbb{R}[/tex] est inclus dans [tex]\mathbb{C}[/tex], mais je ne comprend plus. On dit qu'il admet des valeurs propres complexes ou non? S'il vous plaît.
J'ai quelques questions, et je vous remercie d'avance de m'aider.

Merci beaucoup.

Dernière modification par htina (15-05-2015 01:25:41)

Fred

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Re : problème aux limites

Je n'ai pas suivi les détails des calculs, mais s'il y a des valeurs propres réelles, bien sûr il y a des valeurs propres complexes puisqu'un nombre réel est a fortiori un nombre complexe.

htina

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Re : problème aux limites

Oui mais quand ils posent la question: est-ce qu'il y'a des valeurs propres négatives? positives? compxes? Cela signifie qu'il faut trouver des \lambda de la forme x+iy pour déclarer l'existence des complexes. Non? Pouvez vous m'aider s'il vous plaît.

MathRack

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Re : problème aux limites

Bonjour,

Le problème est homogène. Zéro est valeur propre. Zéro est un complexe. Il existe donc des valeurs propres complexes.

Ok, ça aide pas trop.

Est-ce que le premier post correspond à l'énoncé exact?

A+, MathRack

htina

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Re : problème aux limites

J'ai refais tous les calculs, et on trouve que det = 0 ssi [tex]r\in \mathbb{Z}^*[/tex], ce qui signifie que le problème aux limites admet des valeurs propres complexes[tex] \lambda = - r^2 = -\alpha^2[/tex] avec [tex]\alpha \in \mathbb{Z}^*[/tex].
Ce qui m’amène un autre gros problème, c'est qu'en cherchant des valeurs propres strictement négatives en posant [tex]\lambda = - \alpha^2[/tex] où[tex] \alpha \in \mathbb{R}^*,[/tex] je n'en trouve aucune. Où est le problème? Je vous prie.

htina

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Re : problème aux limites

Je ne comprend pas pourquoi, dans le cas où [tex]\lambda \in \mathbb{C}[/tex], je trouve qu'il y'a des valeurs propres strictement négatives, mais en posant [tex]\lambda = - \alpha^2[/tex] où[tex] \alpha \in \mathbb{R}^*[/tex], je trouve qu'il n'y pas de valeurs propres strictement négatives. Qu'est ce qui cloche? S'il vous plaît.

htina

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Re : problème aux limites

Bonjour,
j'ai un grand problème et je n'arrive pas à trouver la solution, ni à obtenir de réponse. Aidez moi s'il vous plaît.

Bonjour,
j'ai le problème aux limites suivant:

[tex]\begin{cases}
& y'' + \lambda y = 0,\\
& y(0)-2 y(2 \pi)=0,\\
& y'(0)-y'(2 \pi)=0
\end{cases}[/tex]
Comment voir s'il existe ou non des valeurs propres complexes à ce problème?

Voici ce que j'ai fait: On pose [tex]\lambda = \alpha + i \beta [/tex]où [tex]\alpha[/tex] et [tex]\beta [/tex]sont des réels quelconques, et non nuls. Pour déterminer la solution générale de l'équation, on pose [tex]y(x)=exp(rx)[/tex], et ainsi on obtient l'équation algébrique[tex] r^2 + \lambda = 0[/tex]. Les solutions dans \mathbb{C} de cette équation algébriques, sont [tex]ir [/tex]et[tex] -ir[/tex]. Ainsi, la solution générale de l'équation est [tex]y(x)= A exp(rix) + B exp(-rix)[/tex], où A et B doivent vérifier la solution du système (on note[tex] s=ir[/tex])
[tex]
\begin{cases}
A(1-2 exp(2 \pi s) + B (1-2 exp(-2 \pi s)=0\\
A(1 - exp(2 \pi s)) + B(exp(-2 \pi s)-1)=0
\end{cases}
[/tex]
Le déterminant de ce système est [tex]det = -6 + 3 exp(-2 \pi s)+  exp(2 \pi s)[/tex]. Ce déterminant est nul, ssi [tex]s=ir \in \mathbb{Z}^*[/tex], qui implique qu'il y'a des valeurs propres strictement négatives [tex]\lambda = - r^2 [/tex]où [tex]r \in \mathbb{Z}^*[/tex]

Mon problème est que, si je pose \lambda = \alpha où \alpha \in \R^*, je trouve qu'il n'y a pas de valeurs propres strictement négatives. Tout ca est contradictoire et je n'arrive pas à comprendre ou à voir ce qui cloche. Merci de m'aider.