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#1 10-05-2015 18:51:03
- htina
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Question
Bonjour,
soit [tex]v(x,t)[/tex] une fonction à deux variables définie sur [tex][0,1]\times [0,T][/tex].
Si on a
$$\dfrac{1}{2} \displaystyle\int_0^1 [v^2(x,t)]_0^T dx + \displaystyle\int_0^T [v(1,t)]^2 dt + \displaystyle\int_0^T \displaystyle\int_0^1 \left[\dfrac{\partial v}{\partial x}(x,t)\right]^2 dx dt=0$$
est-ce qu'on peut en déduire que $$v(x,t)=0$$ et pourquoi?
Merci beaucoup
Dernière modification par yoshi (10-05-2015 19:23:57)
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#4 11-05-2015 21:19:47
- Roro
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Re : Question
Bonsoir,
Je n'en sais rien et je n'ai pas envie de chercher ! Peut-être que quelqu'un d'autre aura une idée...
Le vrai commentaire devrait-être : qu'as-tu essayé ?
J'ai comme l'impression que ce que tu as obtenu au post 1 ressemble à une estimation d'énergie issue d'une EDP. Dans ce cas, l'identité serait vraie pour tout T, et évidemment ça change tout. Mais j'espère que je me trompe et que tu ne nous as pas donné un énoncé faux.
Roro.
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#5 12-05-2015 20:21:10
- htina
- Membre
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Re : Question
Roro, je suis sincèrement désolée, j'ai pensais avoir bien posé ma question.
En fait, j'ai le problème suivant:
[tex]
\begin{cases}
& \dfrac{\partial u}{\partial t} = \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}, 0 < x < 1, t > 0\\
& u(0,t)=0, u(1,t)+ \dfrac{\partial u}{\partial x} (1,t)=0
\end{cases}
[/tex]
et la question initiale est de montrer que ce problème admet une solution unique. J'ai donc supposé qu'il y'a deux solutions [tex]u_1[/tex] et [tex]u_2[/tex], je pose [tex]v(x,t)= u_1(x,t)-u_2(x,t)[/tex], et je montre que [tex]v(x,t)=0[/tex] pour tout [tex](x,t)[/tex].
En multipliant l'équation par v, puis en intégrant par parties sur [tex][0,T]\times [0,1][/tex], on obtient:
[tex]
\dfrac{1}{2} \displaystyle\int_0^1 [v^2(x,t)]_0^T dx + \displaystyle\int_0^T [v(1,t)]2 dt + \displaystyle\int_0^T \displaystyle\int_0^1 [\dfrac{\partial v}{\partial x}(x,t)]2 dx dt = 0
[/tex]
Pourquoi cela implique t-il que v(x,t)=0 pour tout (x,t)? S'il vous plaît..
Dernière modification par htina (12-05-2015 20:21:25)
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#6 12-05-2015 21:31:40
- Roro
- Membre expert
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Re : Question
Bonsoir htina,
C'est un peu dommage qu'il faille trouver l'énoncer avant de pouvoir répondre...
Ceci étant dit c'est donc beaucoup plus simple car il suffit juste de remarquer que v(x,0)=0, et que tu as donc une somme de termes positifs qui est nulle.
Roro.
Dernière modification par Roro (12-05-2015 21:32:19)
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#8 12-05-2015 21:53:48
- Roro
- Membre expert
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Re : Question
Effectivement, tu n'as jamais dit que ton EDP avait aussi une condition initiale... dans ce cas, il est clair qu'il n'y a pas unicité de la solution !!!
Je pense que je ne vais plus intervenir sur ce post car tu ne dis jamais tout.
Je termine donc par résumé ce que j'ai fais avant :
Si tu considères le système d'EDP que tu as écris au post 5 alors pour toute donnée initiale [tex]u(0,x)=u_0(x)[/tex] il existe une unique solution [tex]u(t,x)[/tex]. La méthode est celle que tu as évoquée : tu considères 2 solutions, tu regardes le système vérifié par la différence
et tu fais une estimation (en gros l'inégalité du post 1). Tous les termes étant nuls, tu en déduis - par exemple avec le premier terme - que pout tout t, et pour presque tout x on a u(x,t)=0...
Roro.
Dernière modification par Roro (12-05-2015 21:55:16)
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#9 12-05-2015 22:07:17
- htina
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Re : Question
Non, non, là ce n'est pas moi qui ai fais une erreur, il n'y a pas de condition initiale dans l'énoncé, je vous en donne ma parole.
J'en déduit qu'il nous faut une condition initiale pour avoir l'unicité, c'est bien logique, j'aurai dû y penser.
Si on ajoute la condition initiale [tex]u(0,x)=0[/tex]. On a par le premier terme de l'égalité d'énergie obtenue, que [tex]v^2(x,T)=v^2(x,0)[/tex], je ne vois pas comment on peut en déduire que v(x,t) = 0 pour tout x et pour tout t. Merci de m'aider pour ce dernier point s'il vous plaît.
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#10 17-05-2015 17:41:25
- htina
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Re : Question
Bonjour,
j'ai le problème suivant:
$\begin{cases}
& \dfrac{\partial u}{\partial t} = k \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}, 0 < x < l, t > 0\\
& u(0,t)=0,\\
& \dfrac{\partial u}{\partial x} (l,t)=0, t \geq 0\\
& u(x,0) = f(x), 0 \leq x \leq l
\end{cases}
$
La question est de montrer que ce problème admet une unique solution. Pour cela, on suppose qu'il existe deux solutions
$u_1$ et $u_2$, et on pose $v=u_1- u_2$. En multipliant l'équation par $v(x,t)$, puis en intégrant par parties, on obtient:
$$
\displaystyle\int_0^l [\displaystyle\int_0^T \dfrac{\partial v}{\partial t} (x,t) v(x,t) dt] dx - k \displaystyle \int_0^T [\displaystyle\int_0^l \dfrac{\partial^2 v}{\partial x^2} (x,t) v(x,t) dx] dt=0
$$
ce qui implique
$$
\displaystyle\int_0^T \dfrac{\partial v}{\partial t}(x,t) v(x,t) = \dfrac{1}{2} [v^2(x,T)- v^2(x,0)]
$$
et
$$
\displaystyle\int_0^l \dfrac{\partial^2 v}{\partial x^2}. v(x,t) dx = \dfrac{\partial v}{\partial x}(l,t). v(l,t) - \dfrac{\partial v}{\partial x}(0,t).v(0,t) - \displaystyle\int_0^T\displaystyle\int_0^l [\dfrac{\partial v}{\partial x}]^2 dx
$$
ainsi, on conclut
$$
\dfrac{1}{2} \displaystyle\int_0^l v^2(x,T) dx - \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_0^l v^2(x,0) dx + k \displaystyle\int_0^T\displaystyle\int_0^l (\dfrac{\partial v}{\partial x}(x,t))^2 dx=0.
$$
Ma question est: quels argument utiliser pour conclure que $$v(x,t)=0\;\forall\; (x,t)\;? $$
Merci
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