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nassima31000

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le théorème spectral

Salut, j'ai beaucoup cherché sur le théorème spectral et ce que je ne comprends pas quelle est la problématique?
d'après ce que j'ai compris, en dimension finie, on cherche des conditions suffisantes pour qu'un endomorphisme soit diagonalisable, mais en dimension infinie qu'est ce qu'on cherche? (pour que je puisse ordonner mes idées), merci d'avance.

Fred

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Re : le théorème spectral

Bonjour,

  C'est à peu près pareil. On cherche par exemple à fabriquer sur un espace de Hilbert une base hilbertienne de vecteurs propres.
Si on considère la matrice (infinie) de cet endomorphisme dans cette base, elle sera diagonale.

F.

nassima31000

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Re : le théorème spectral

Salut, merci pour votre réponse, mais ce que j'ai trouvé, on parle d'algèbres de Banach, d'isomorphismes d'algèbres, ensuite de mesure spectrale,  de famille spectrale, après on définit une intégrale suivant cette famille spectrale, la version du théorème spectral que j'ai trouvé (pour les opérateurs normaux bornés), pour tout opérateur normal [tex]A[/tex], il existe une mesure spectrale unique [tex]E[/tex] sur [tex]\sigma(A)[/tex] pour laquelle [tex]A=\int zdE[/tex]. Je ne comprends pas toutes ces démarches, et pour arriver à quoi? svp svp aidez moi.

Fred

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Re : le théorème spectral

Ok.
Alors c'est un peu plus compliqué. Si tu es en dimension finie et que ton opérateur est normal, il est diagonalisable dans une base orthonormée.
L'espace peut s'écrire [tex]H=E_1\oplus\dots\oplus E_p[/tex] et ton opérateur [tex]A[/tex] agit comme un opérateur de multiplication par [tex]\lambda_i[/tex] sur chaque [tex]E_i[/tex].
Si tu notes [tex]p_i[/tex] la projection sur chaque [tex]E_i[/tex], alors tu peux écrire pour chaque [tex]x\in H[/tex],
[tex]x=\sum_i p_i(x)[/tex] et [tex]Ax=\sum_i \lambda_i p_i(x)[/tex]

Cette somme, tu peux encore l'écrire sous forme intégrale en introduisant la "mesure spectrale" suivante :
[tex]dE=p_i(x)\delta_{\lambda_i}[/tex] (qui est une mesure sur [tex]\mathbb C[/tex] à valeurs dans [tex]H[/tex]).
Dans ce cas,
[tex]Ax=\int_{\mathbb R} zdE[/tex].

Donc, pour résumé, le théorème spectral peut être vu comme une version "continue" de la décomposition
[tex]Ax=\sum_i \lambda_i p_i(x)[/tex] en dimension finie.

F.

nassima31000

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Re : le théorème spectral

je vous remercie beaucoup pour vos explications. (je pense qu'il manque un [tex]x[/tex] dans votre intégrale non?)
Dans le livre "functional analysis" de Walter Rudin, le théorème 13.33, c'est le théorème spectral pour les opérateurs normaux non-bornés , on a un résultat similaire, c'est à dire, tout opérateur normal [tex]N[/tex] admet une unique décomposition spectrale [tex]E[/tex] qui satisfait
[tex](Nx,y)= \int_{\sigma(N)} \lambda dE_{x,y}(\lambda)~~(x \in D(N),~y \in H)[/tex].
est ce que c'est aussi une décomposition ? car je ne vois pas de [tex] Nx=[/tex] ils ont défini directement le produit scalaire de [tex]Nx[/tex] avec [tex]y[/tex] pour [tex](x \in D(N),~y \in H)[/tex].