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#1 03-05-2015 10:51:09

htinamallogé
Invité

Valeurs propres d'un problème aux limites

Bonjour,
je cherche à determiner les valeurs propres du problème aux limites
[tex]y'' + \lambda y =0, y(0)-2 y(2 \pi) = 0, y'(0)-y'(2 \pi) = 0[/tex]
Dans le cas [tex]\lambda >0[/tex], on pose [tex]\lambda = \alpha^2[/tex] avec [tex]\alpha \in \R^*[/tex].
La solution générale de l'équation est: [tex]y(x)= C_1 \cos(\sqrt{\alpha^2} x) + C_2 \sin (\sqrt{\alpha^2} x)[/tex]
t.q [tex]C_1[/tex] et [tex]C_2[/tex] vérifient:
[tex]C_1 - 2 C_1 \cos(2 \pi \sqrt{\alpha^2})+2 C_2 \sin (2 \pi \sqrt{\alpha^2})=0[/tex]
[tex]-C_2 \sqrt{\alpha^2}- C_2 \sqrt{\alpha^2} \cos(2 \pi \sqrt{\alpha^2}) + C_1 \sqrt{\alpha^2} \sin (\sqrt{alpha^2} 2 \pi)=0[/tex]

Comment trouver les valeurs propres?
Merci.

#2 04-05-2015 07:48:57

Fred
Administrateur
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Re : Valeurs propres d'un problème aux limites

Bonjour,

  Tu essaies de résoudre cette équation en [tex]C_1[/tex] et [tex]C_2[/tex]. Admet-elle toujours une solution?

F.

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#3 04-05-2015 16:14:32

htina
Membre
Inscription : 20-10-2014
Messages : 172

Re : Valeurs propres d'un problème aux limites

J'ai essayé de résoudre le système, mais je ne sais même pas par où commencer, les C_1 et C_2 sont quelconques. Que faire? Svp.

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#4 04-05-2015 16:23:19

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Valeurs propres d'un problème aux limites

Oui, ils sont quelconques, mais c'est eux que tu dois déterminer. Y-a-t-il une solution à ce système autre que la solution identiquement nulle?
Autrement dit, est-ce que le déterminant de ce système est égal à 0?

F.

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#5 04-05-2015 16:32:00

htina
Membre
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Messages : 172

Re : Valeurs propres d'un problème aux limites

Le déterminant est $-1 - 3 \cos(2 \pi \sqrt{\alpha^2}) + 4 \cos^2 (2 \pi \sqrt{\alpha^2})$.
On pose $c = \cos (2 \pi \sqrt{\alpha^2})$. Le déterminant est nul, ssi $c$ vérifie l'équation de second ordre $4 c^2 - 3 c -1 = 0$. Les solutions de cette équations sont $c=-\dfrac{1}{4}$ ou $c=1$.
Ainsi, le déterminant est nul ssi
$\sqrt{\alpha^2} = \dfrac{1}{2 \pi} arc cos (-\dfrac{1}{3}) + k$ ou $\sqrt{\alpha^2} = - \dfrac{1}{2 \pi} arc cos (-\dfrac{1}{3}) + k$
ou $\sqrt{\alpha^2} = \dfrac{1}{2 \pi} arc cos (1) + k$, ou $\sqrt{\alpha^2} =- \dfrac{1}{2 \pi} arc cos (1) + k$.
Donc, pour ces valeurs de $\sqrt{\alpha^2}$, le système admet une solution unique $c_1=c_2=0$.
Et si $\sqrt{\alpha^2}$ ne prend pas ces valeurs, alors qu'est ce qu'on peut dire?
Merci.

Dernière modification par htina (04-05-2015 20:36:32)

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#6 04-05-2015 19:49:18

Fred
Administrateur
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Re : Valeurs propres d'un problème aux limites

Si le déterminant est nul, alors on peut trouver un couple [tex](C_1,C_2)\neq (0,0)[/tex]
qui vérifie le système. Ce qui signifie que ton problème aux limites admet une solution non-triviale, ce qui est bien ce que tu voulais faire, non?

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#7 04-05-2015 20:40:02

htina
Membre
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Re : Valeurs propres d'un problème aux limites

J'avais fait une erreur de calcul.
Le déterminant est [tex]-1 - 3 \cos(2 \pi \sqrt{\alpha^2}) + 4 \cos^2 (2 \pi \sqrt{\alpha^2})[/tex].
On pose [tex]c = \cos (2 \pi \sqrt{\alpha^2})[/tex]. Le déterminant est nul, ssi [tex]c[/tex] vérifie l'équation de second ordre [tex]4 c^2 - 3 c -1 = 0[/tex]. Les solutions de cette équations sont [tex]c=-\dfrac{1}{4}[/tex] ou [tex]c=1[/tex].
Ainsi, le déterminant est nul ssi
[tex]\sqrt{\alpha^2} = \dfrac{1}{2 \pi} arc cos (-\dfrac{1}{3}) + k[/tex] ou [tex]\sqrt{\alpha^2} = - \dfrac{1}{2 \pi} arc cos (-\dfrac{1}{3}) + k[/tex]
ou [tex]\sqrt{\alpha^2} = \dfrac{1}{2 \pi} arc cos (1) + k[/tex], ou [tex]\sqrt{\alpha^2} =- \dfrac{1}{2 \pi} arc cos (1) + k[/tex].
Donc, pour ces valeurs de[tex] \sqrt{\alpha^2}[/tex], le système admet une solution unique [tex]c_1=c_2=0[/tex].
Et si [tex]\sqrt{\alpha^2}[/tex] ne prend pas ces valeurs, le déterminant n'est alors pas nul, et dans ce cas, le système admet une infinité de solutions si l'une des équations est multiple de l'autre, sinon, il n'admet aucune solution. Et je ne vois pas que l'une des équations est multiple de l'autre, alors que dire?

Dernière modification par htina (04-05-2015 21:05:10)

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#8 04-05-2015 21:56:40

Fred
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Re : Valeurs propres d'un problème aux limites

Revois la résolution des systèmes à l'aide du déterminant, tu dis n'importe quoi!
Si le déterminant est non nul, le système admet une unique solution. Comme (0,0) est solution, c'est la seule (et je dis bien que c'est si le déterminant est non nul).
Si le déterminant est nul, ton système (parce que le second membre est (0,0)), admet TOUJOURS une infinité de solutions (et d'ailleurs, dire que le déterminant est nul revient à dire qu'une ligne est proportionnelle à l'autre).

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#9 04-05-2015 21:58:00

htina
Membre
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Re : Valeurs propres d'un problème aux limites

Le determinant est nul revient à dire que ligne est proportionnelle à l'autre? Comment ca? svp

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#10 05-05-2015 06:53:06

Fred
Administrateur
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Re : Valeurs propres d'un problème aux limites

Si une matrice a un déterminant nul, ca veut dire que la matrice n'est pas inversible. Dans le cas d'une matrice 2x2, ca veut dire qu'une ligne est proportionnelle à l'autre.

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#11 05-05-2015 12:27:19

htinamallogée
Invité

Re : Valeurs propres d'un problème aux limites

Donc, dans le cas général, si le determinant est nul, soit le système admet une infinité de solutions, soit il n'admet aucune solution.
Comment on sait s'il admet une infinité de solutions ou bien il n'admet aucune solution? Dans le cas d'un système a deux équations, c'est toujours une infinité de solutions dans le cas du detérminant nul, sinon, on regarde les équations, si elles sont proportionnelles, ou non. C'est bien ca?

#12 05-05-2015 21:59:40

Fred
Administrateur
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Messages : 7 035

Re : Valeurs propres d'un problème aux limites

htinamallogée a écrit :

Donc, dans le cas général, si le determinant est nul, soit le système admet une infinité de solutions, soit il n'admet aucune solution.

Comment on sait s'il admet une infinité de solutions ou bien il n'admet aucune solution?

Il suffit de savoir s'il y a au moins une solution. Et dans le cas où le second membre est nul, il y a toujours une solution, la solution identiquement nulle. Et donc automatiquement une infinité de solutions puisque le déterminant est nul.

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#13 06-05-2015 18:37:31

htina
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Re : Valeurs propres d'un problème aux limites

J'ai une autre question. Je cherche à trouver les réels [tex]C_1[/tex] et [tex]C_2[/tex], tels que
[tex]C_1(1 - 2 e^{2 \pi \alpha}) + C_2 (1- e^{-2 \pi \alpha})=0[/tex]
et
[tex]C_1 (1- e^{2 \pi \alpha}) - C_2 (1 + e^{-2 \pi \alpha})=0[/tex]
où [tex]\alpha \in \mathbb{R}^*[/tex].
On commence par calculer le déterminant de ce système.
[tex]det = -2 + e^{-2 \pi \alpha} + 3 e^{2 \pi \alpha}[/tex].
Comment savoir si ce déterminant peut s’annuler ou pas?
Merci beaucoup.

Dernière modification par htina (06-05-2015 18:38:15)

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#14 06-05-2015 20:41:59

Fred
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Re : Valeurs propres d'un problème aux limites

Ben, tu as une fonction de [tex]\alpha[/tex] à étudier, dont tu peux dresser le tableau de variations, un peu comme en Terminale!

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#15 06-05-2015 23:30:48

htina
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Re : Valeurs propres d'un problème aux limites

Si on résout chaque équation toute seule et puis on prend l’intersection, on trouve les solutions du systèmes.
La première équation est satisfaite pour [tex]C_1[/tex] quelconque, et [tex]\alpha = -\ln(2)/2 \pi[/tex];, et la deuxième équation est vérifiée pour [tex]\alpha = 0[/tex] (or qu'ici,[tex] \alpha \in \R^*[/tex]. Si on travail ainsi, on conclut que l'ensemble des $\alpha$ t.q le déterminant est nul, est vide. Non?

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#16 07-05-2015 06:10:49

Fred
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Re : Valeurs propres d'un problème aux limites

Non. Pourquoi tu ne fais pas ce que je te dis?
Si tu poses [tex]x=e^{2\pi\alpha}[/tex], tu obtiens aussi une équation du second degré en [tex]x[/tex] que tu peux résoudre explicitement.

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#17 07-05-2015 13:49:59

htina
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Messages : 172

Re : Valeurs propres d'un problème aux limites

Merci, j'ai bien compris.

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