Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 25-04-2015 11:49:50

Dredriban
Membre
Inscription : 06-03-2014
Messages : 55

Variation de la constante - Système différentiel.

Bonjour,

Je bloque sur la finalité de la méthode de la variation de la constante qu'on utilise pour trouver la solution particulière d'un système différentiel. Je l'ai parfaitement compris et assimilé pour une équation différentielle. Je l'ai presque compris pour les systèmes. Au lieu de vous écrire tout mon raisonnement, je vous donne des photos :

J'ai conpris intégralement du raisonnement :

Raisonnement

Mais je bloque sur la dernière étape quand je dois intégrer. Comment je fais !? J'ai deux matrices la B et e-At. Je ne peux même pas les multiplier entre-elles pour ensuite intégrer chaque coefficient vu que généralement B est une 2*1 et l'autre est une 2*2. De plus c'est plus At mais -At. Du coup, je bloque. D'autant plus que je m'interroge. Quand on parle de e-At on parle de toute la solution homogène (Si c'est diagonalisable avec les P et P-1 ou juste de la matrice D ?). Voici où je bloque en image :

Je bloque

Merci de votre aide ! Bonne journée !

Hors ligne

#2 25-04-2015 17:51:34

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Variation de la constante - Système différentiel.

Hello,

  Bien sûr que tu peux calculer le produit [tex]e^{-At}B(t)[/tex] : tu peux multiplier une matrice 2x2 par une matrice 2x1, du moins dans cet ordre. La matrice A est la matrice de départ. Simplement, pour calculer son exponentielle, il est souvent commode de passer par une diagonalisation de A.

F.

Hors ligne

#3 25-04-2015 18:19:24

Dredriban
Membre
Inscription : 06-03-2014
Messages : 55

Re : Variation de la constante - Système différentiel.

Merci. Vu comme ça, suis-je bête ! Du coup, je fais juste le produit et j'intège chaque coefficient ? J'ai donc 2 questions :

1/ L'exponnentielle de matrice est égal à quoi ? A toute la solution homogène trouvée (Si A est diagonalisable son X(t) est de la forme P*eAt*P-1 et ça varie selon les cas de figure) ou l'exponnentielle de matrice est uniquement égal à la matrice que je forme avec mes valeurs propres ?

2/ Du coup, e-At c'est quoi ? Cela dépend de ce que tu me réponds pour la 1. Si tu me dis que je prends tout, je ne sais pas. Mais si je prends que la matrice obtenue avec les valeurs propres, alors j'imagine que je mets un moins partout.

Hors ligne

#4 25-04-2015 20:19:56

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Variation de la constante - Système différentiel.

Si [tex]A=PDP^{-1}[/tex] avec [tex]D=\left(\begin{array}{cc}\lambda&0\\0&\mu\end{array}\right)[/tex], alors
[tex]e^{tA}=Pe^{tD}P^{-1}[/tex] avec [tex]e^{tD}=\left(\begin{array}{cc}e^{t\lambda}&0\\0&e^{t\mu}\end{array}\right)[/tex].

F.

Hors ligne

#5 25-04-2015 20:52:35

Dredriban
Membre
Inscription : 06-03-2014
Messages : 55

Re : Variation de la constante - Système différentiel.

Ok merci donc l'exponentielle c'est bien l'intégralité de la solution. Donc ça te fait un produit de 3 matrices puis un produit avec une quatrième B. Et j'intègre chaque coefficient de la matrice obtenue. C'est bien ça ?

Mais du coup le -At joue comment sur les P et P-1. A la limite dans la matrice A, suffit de faire - chaque coefficient mais sur les P ça joue où ?

Hors ligne

#6 25-04-2015 21:42:54

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Variation de la constante - Système différentiel.

Ca ne joue pas sur les P.

Si A=PDP^{-1}, alors -A=P(-D)P^{-1}

Hors ligne

#7 25-04-2015 22:08:33

Dredriban
Membre
Inscription : 06-03-2014
Messages : 55

Re : Variation de la constante - Système différentiel.

Merci mon sauveur ! Du coup je multiplie les 3, je multiplie ensuite avec B. J'intègre les coefficients et j'ai ma réponse ? Super !

Hors ligne

Réponse rapide

Veuillez composer votre message et l'envoyer
Nom (obligatoire)

E-mail (obligatoire)

Message (obligatoire)

Programme anti-spam : Afin de lutter contre le spam, nous vous demandons de bien vouloir répondre à la question suivante. Après inscription sur le site, vous n'aurez plus à répondre à ces questions.

Quel est le résultat de l'opération suivante (donner le résultat en chiffres)?
dix-neuf plus soixante dix
Système anti-bot

Faites glisser le curseur de gauche à droite pour activer le bouton de confirmation.

Attention : Vous devez activer Javascript dans votre navigateur pour utiliser le système anti-bot.

Pied de page des forums