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- Contributions : Récentes | Sans réponse
#1 25-04-2015 11:49:50
- Dredriban
- Membre
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- Messages : 55
Variation de la constante - Système différentiel.
Bonjour,
Je bloque sur la finalité de la méthode de la variation de la constante qu'on utilise pour trouver la solution particulière d'un système différentiel. Je l'ai parfaitement compris et assimilé pour une équation différentielle. Je l'ai presque compris pour les systèmes. Au lieu de vous écrire tout mon raisonnement, je vous donne des photos :
J'ai conpris intégralement du raisonnement :
Mais je bloque sur la dernière étape quand je dois intégrer. Comment je fais !? J'ai deux matrices la B et e-At. Je ne peux même pas les multiplier entre-elles pour ensuite intégrer chaque coefficient vu que généralement B est une 2*1 et l'autre est une 2*2. De plus c'est plus At mais -At. Du coup, je bloque. D'autant plus que je m'interroge. Quand on parle de e-At on parle de toute la solution homogène (Si c'est diagonalisable avec les P et P-1 ou juste de la matrice D ?). Voici où je bloque en image :
Merci de votre aide ! Bonne journée !
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#2 25-04-2015 17:51:34
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 035
Re : Variation de la constante - Système différentiel.
Hello,
Bien sûr que tu peux calculer le produit [tex]e^{-At}B(t)[/tex] : tu peux multiplier une matrice 2x2 par une matrice 2x1, du moins dans cet ordre. La matrice A est la matrice de départ. Simplement, pour calculer son exponentielle, il est souvent commode de passer par une diagonalisation de A.
F.
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#3 25-04-2015 18:19:24
- Dredriban
- Membre
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- Messages : 55
Re : Variation de la constante - Système différentiel.
Merci. Vu comme ça, suis-je bête ! Du coup, je fais juste le produit et j'intège chaque coefficient ? J'ai donc 2 questions :
1/ L'exponnentielle de matrice est égal à quoi ? A toute la solution homogène trouvée (Si A est diagonalisable son X(t) est de la forme P*eAt*P-1 et ça varie selon les cas de figure) ou l'exponnentielle de matrice est uniquement égal à la matrice que je forme avec mes valeurs propres ?
2/ Du coup, e-At c'est quoi ? Cela dépend de ce que tu me réponds pour la 1. Si tu me dis que je prends tout, je ne sais pas. Mais si je prends que la matrice obtenue avec les valeurs propres, alors j'imagine que je mets un moins partout.
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#4 25-04-2015 20:19:56
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 035
Re : Variation de la constante - Système différentiel.
Si [tex]A=PDP^{-1}[/tex] avec [tex]D=\left(\begin{array}{cc}\lambda&0\\0&\mu\end{array}\right)[/tex], alors
[tex]e^{tA}=Pe^{tD}P^{-1}[/tex] avec [tex]e^{tD}=\left(\begin{array}{cc}e^{t\lambda}&0\\0&e^{t\mu}\end{array}\right)[/tex].
F.
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#5 25-04-2015 20:52:35
- Dredriban
- Membre
- Inscription : 06-03-2014
- Messages : 55
Re : Variation de la constante - Système différentiel.
Ok merci donc l'exponentielle c'est bien l'intégralité de la solution. Donc ça te fait un produit de 3 matrices puis un produit avec une quatrième B. Et j'intègre chaque coefficient de la matrice obtenue. C'est bien ça ?
Mais du coup le -At joue comment sur les P et P-1. A la limite dans la matrice A, suffit de faire - chaque coefficient mais sur les P ça joue où ?
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