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mathildelrr27

Invité

logarithme DM

Bonjour, est ce que quelqu'un pourrait m'aider à résoudre la partie A cet exercice svp

Une entreprise fabrique et revend entre 1000 et 10000 jouets par semaine. Le bénéfice réalisé, en millier d'euros, lorsqu'elle fabrique et vend x milliers de jouets est égal à: B(x)=5(1-ln x)(ln x-2) ou x appartient à l'intervalle [1;10].
On a réalisé les recherches ci-dessous à l'aide du logiciel Xcas.

Partie A: interprétation des résultats

1:B(x):=5*(1-ln(x))*(ln(x)-2)
         X->(5•(1-ln(x)))•(ln(x)-2)
2:Résoudre (B(x)=0)
             [exp(1), exp(2)]
3:Résoudre(B(x)>=0)
      [(x>=exp(1))&&(x<=exp(2))
4:dériver (B(x))
      (-5•(2•ln(x)-3)/(x)
5:fMax(B(x))
     exp(3/2)

Q1) interpréter graphiquement les résultats des lignes 2 et 3  de la copie d'écran donné (ci dessus)

Q2) en utilisant les lignes 4 et 5 de la copie d'écran, dresser le tableau de variation de B sur [1;10]

Q3) pour quelle production le bénéfice est-il maximal ? (Donner valeur exacte puis arrondi à 10 jouets)

Partie B: justification des résultats
Q1) justifier les résultats obtenus à la ligne 2 de la copie  d'écran ci dessus

Q2)a. résoudre, dans ]0;+∞ [, les inéquations :
       1-ln x>=0  et  ln x-2>=0
   b. en déduire le tableau de signes de B(x). Quelle ligne de la copie d'écran démontre-t-on ainsi par ce tableau de signes ?

Q3)a. calculer B'(x) et vérifier le résultat obtenu à la ligne 4 de la copie d'écran.
   b.en déduire les variations de B sur [1;10]. On précisera la valeur exact du maximum de B et la valeur exact de x pour laquelle il est atteint.
   c.déterminer, à un jouet pres,les quantités à produire pour ne pas travailler à perte.

Q4)a. Donner le nombre de solutions sur [1;10] de l'équation B(x)=1, puis donner une valeur approche à 0,001 près de chaque solution, à l'aide de la calculatrice.
   b. Cette entreprise veut réaliser un bénéfice supérieur ou égal à 1000€. Combien de jouets doit-elle fabriquer? Justifier la réponse

En espérant trouver de l'aide, merci

yoshi

Modo Ferox

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Messages : 16 988

Re : logarithme DM

Bonsoir,

Q1 Interpréter graphiquement les résultats des lignes 2 et 3  de la copie d'écran donnée

2:Résoudre (B(x)=0)
             [exp(1), exp(2)]
3:Résoudre(B(x)>=0)
      [(x>=exp(1))&&(x<=exp(2))
Cela signifie que la courbe représentative de la fonction B coupe l'axe des abscisses en 2 points d'abscisses [tex] x_1=e[/tex] et [tex]x_2=e^2[/tex]
La solution de l'inéquation [tex]B(x)\geqslant 0[/tex] étant [tex]x \in [e\;;\;e^2][/tex] et B(x) <0  donc à l'extérieur des racines, j'en déduis qu'entre les points de coordonnées [tex](e;0)[/tex] et [tex](e^2;0)[/tex], la courbe est au dessus de l'axe des abscisses.

Q2  En utilisant les lignes 4 et 5 de la copie d'écran, dresser le tableau de variation de B sur [1;10]
4:dériver (B(x))
      (-5•(2•ln(x)-3)/(x)
5:fMax(B(x))
     exp(3/2)
Ligne 4 : la dérivée montre qu'on ne peut avoir x = 0 pour solution (valeur interdite et hors domaine)
Ligne 5 : il n'y a donc qu'une valeur qui annule la dérivée, donc un seul extremum pour [tex]e^{\frac 3 2}[/tex] et que de plus , cet extremum est un maximum. Donc la courbe passe par un maximum sur [tex][e\;;\;e^2][/tex], est au dessus de l'axe des abscisses,mais en dessous (B(x)<0) sur [tex][1;e[\; \cup \;]e^2 ; 10][/tex]

x     |1    e      e^3/2  e²     10
------|-----------------------
      |         / 1.25\
B(x)  |       /        \
      |     0/          \0  
      |    /              \
      |-10         5*(1-ln(10))(ln(10)-2)    

En milliers de jouets, le bénéfice est maximal pour [tex]1000e^{\frac 3 2}[/tex]  jouets, [tex]\approx 4481.689070338064[/tex], soit 4480 jouets à 10 près.

Ça te va ?

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Hochart

Invité

Re : logarithme DM

Peut tu m'envoyer le corrigé de cet exercice à cette adresse : baptiste.ho@hotmail.fr  stp ??j'ai exactement le même

tibo

Membre expert

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Re : logarithme DM

Bonsoir,

Bien sûr ! Je l'ai mis en ligne sur ce site : jesuismalpolietjesuisincapacledutilisermoncerveau.fr.

Dernière modification par tibo (25-01-2017 19:45:58)

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A quoi sert une hyperbole?
----- A boire de l'hypersoupe pardi !