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sotsirave

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croisées

Bonjour

En l'an 1146, une nouvelle croisade a lieu. Pour la première fois, on vit une troupe considérable de femmes partir. Elles portaient comme les hommes la lance et le bouclier. Mais le goût de la parure se mêlait au désir de se signaler par de grands exploits. Elles se firent remarquer par l'éclat et la richesse de leurs toilettes.
Quoi qu'il en soit, l'empereur Conrad n'avait pas été sans remarquer que lorsqu'il rencontrait, strictement par hasard, deux de ces croisées, il y avait exactement une chance sur deux pour qu'elles aient toutes les deux les yeux verts.
Ce qui était encore plus étonnant, c'est que cette proportion était la même:
- à la cour de l'empereur, où elles étaient peu nombreuses;
- aux offices, où elles étaient déjà plus nombreuses;
- à la revue, lorsque Conrad  passait l'inspection du groupe complet de ces charmantes croisées.

Combien y avait-il exactement de croisées à la cour ou fréquentant les offices ou à la revue ?

(Si vous obtenez plusieurs réponses, choisissez la plus plausible)

Dillon

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Re : croisées

Bonsoir

▼une solution

Si on appelle N le nombre de croisées et m ([tex]0<m<N[/tex]) le nombre de celles qui N'ont PAS les yeux verts :
-Il existe [tex]\frac{N(N-1)}{2}[/tex] paires de croisées
-Il existe[tex] (N-1) + (N-2)[/tex] ... (m termes) soit [tex]mN - (1+2+..+m)[/tex] soit encore[tex] mN-\frac{m(m+1)}{2}[/tex] paires de croisées dont au moins une n'a pas les yeux verts.
Si Conrad a exactement une chance sur deux de rencontrer une paire de croisées qui ont toutes les deux les yeux verts, il a aussi exactement une chance sur deux aussi de rencontrer deux croisées dont au moins une n'a pas les yeux verts.
donc  [tex]\frac{mN-\frac{m(m+1)}{2}}{\frac{N(N-1)}{2}}= \frac{1}{2}[/tex]
On en tire une équation du second degré en  m dont la solution est
[tex]m=N-\frac{1+\sqrt{N^2+(N-1)^2}}{2}[/tex] (la solution avec le signe [tex]-[/tex] devant le radical conduit à une solution [tex]m>N[/tex] rejetée).
Pour qu'il y ait une solution entière, il faut que l'expression sous le radical soit entière, c'est à dire que [tex]N-1[/tex], [tex]N[/tex] et [tex]\sqrt{N^2+(N-1)^2}[/tex] forment un triplet pythagoricien remarquable puisque commençant par deux entiers consécutifs.
Les plus petites solutions possibles sont (valeurs de N :4,21,120,697,4060 …)
Des femmes même peu nombreuses à la cour, 4 me semble insuffisant, je choisis 21
697 me semble trop aux offices, je prends 120.
Et si je n'ai aucune idée de ce que représentait "une troupe considérable" à l'époque, passer 697 personnes en revue (les unités n'étaient pas mixtes je suppose) c'est déjà beaucoup.
Les nombres de croisées aux yeux verts sont alors respectivement de 15, 85 et 493.

Au fait, ça veut dire quoi, rencontrer "strictement par hasard deux croisées" quand on est dans des lieux où elles sont toutes visibles à la fois ?

Dernière modification par Dillon (21-03-2015 02:01:39)

sotsirave

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Re : croisées

Bonsoir

▼une solution

Si l'on appelle n le nombre de croisées, 1,2,3 pour chaque endroit et v le nombre aux yeux verts ,1,2,3 pour chaque endroit, n et v vérifient:

[tex]{v\choose 2} [/tex]/ [tex]{n\choose 2} [/tex] = 1/2, soit v(v-1)/n(n-1) = 1/2.
Par un calcul direct ou en utilisant un programme, on obtient successivement:

A la cour n1 = 4 et v1= 3
A l'office n2 = 21 et v2 = 15
l"effectif complet n3 = 120 et v3= 85.
Solutions plausibles

Dernière modification par sotsirave (25-03-2015 02:30:45)

freddy

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Re : croisées

Salut,

▼une idée

la proportion reste constante quelle que soit la taille de l'effectif, elle est égale à [tex]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]

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De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.