Tangente à un cercle, 2nd

Ninine · 19-03-2015 21:38:20

Bonjour à tous !
J'éprouve quelques difficultés sur ce Dm de maths. J'ai réussis la question 1 mais je bloque sur la deux, je ne comprend pas comment on peut faire en fait.... En voici l'énoncé :

Dans un repère (O;I;J, on considère les points A(-1;2), B(0;-2) et C (3;3).

1)Calculer les coordonnées du milieu I de [BC]. (j'ai trouvé I(-1;3))

2)a. calculer les coordonnées du symétrique A' du point A par rapport à I.
b. Quelle est la nature du quadrilatère ABA'C ?
c. Justifier que le cercle G circonscrit au triangle ABC a pour centre le point I. (sans utiliser Pythagore, je pense donc à cette propriété: «Si une droite est la tangente à un cercle en un point du cercle alors cette droite est perpendiculaire en ce point à la droite qui passe par le centre du cercle et ce point.»

3)Démontrer que la droite passant par B et T(-5;1) est tangente au cercle G.

Merci beaucoup à qui pourra m'aider !

yoshi · 19-03-2015 23:35:30

Bonsoir,

1. Coordonnées de I milieu de [BC]
[tex]x_I=\frac{x_B+x_C}{2}=\frac{0+3}{2}=\frac 3 2[/tex]

[tex]y_I=\frac{y_B+y_C}{2}=\frac{-2+3}{2}=\frac 1 2[/tex]

2. a) A' Symétrique de A par rapport à I. Coordonnées de A'
Méthode avec vecteurs
A' Symétrique de A par rapport à I [tex]\Leftrightarrow \overrightarrow{AA'}=2\overrightarrow{AI'}[/tex]
Tu calcules les cordonnées de [tex]\overrightarrow{AI}[/tex]
Tu appelles x et y les coordonnées cherchées de A'.
Tu écris alors en fonction de x et y les coordonnées de [tex]\overrightarrow{AA'}[/tex] : [tex]\overrightarrow{AA'}(x+1\;;\;y-2)[/tex]
Tu vas ensuite compléter :
[tex]x+1 = 2(\cdots)[/tex]
[tex]y-2 = 2(\cdots)[/tex]
Méthode sans vecteurs
On pose A'(x ; y)
On écrit les coordonnées du milieu de [AA'] en fonction de x et y.
Puis tu écris que ce milieu est I et donc tu résous les équations
1ere coordonnée (en fonction de x) = 3/2
2e coordonnée (en fonction de y) = 1/2
J'ai A'(4 ; -1)

b) Ce quadrilatère m'a tout l'air d'être un carré.
On commence par prouver que c'est un parallélogramme. Facile : que représente I pour les 2 diagonales ?
Tu calcules AB et AC et tu dois arriver à AB = AC
Donc parallélo + 2 côtés consécutifs de même longueur --> losange
Tu calcules en plus BC
Et tu contrôles que la réciproque du Th de Pythagore est vérifiée.
Donc BAC rectangle en A donc [tex]\hat A[/tex] est droit.
Losange + 1 angle droit --> carré
c) Le triangle BAC étant rectangle en A le point I milieu de l'hypoténuse est le centre cherché.
On peut aussi dire : dans le triangle BAC rectangle en A [AI] est la médiane relative à l'hypoténuse.
on sait donc que AI = BC/2 = BI = CI. I est équidistant de A, B et C donc...

3. Deux solutions
* Montrer [tex]\widehat{TBC}=90^{\circ}[/tex]
Pourquoi [tex]\widehat{TBC}[/tex] et non [tex]\widehat{TBI}[/tex] ?
Parce que tu vas montrer que les triangles du même nom sont des triangles rectangles (réciproque de Pythagore) et que si tu utilises le point I il y aura des dénominateurs et les élèves en général n'aiment pas ça.
* Plus astucieux, avec moins de calculs.
Montre que le milieu de [TC] est A.
Calcule la longueur TC.
Constate que BA = TC/2.
Si dans un triangle, la médiane relative à un côté a une longueur moitié de celle de ce côté, ce triangle est rectangle et ce côté en en est l'hypoténuse.
Donc BCT rectangle en B.
Et là tu peux placer ton théorème sur la tangente...
Mais tu avais besoin de savoir avant qu'il y avait un angle droit !

@+

[EDIT] Mieux ! Encore moins de calculs, plus de Géométrie :
Montrer que A milieu de [CT]. Et alors tu sais de plus que C, A, T sont alignés dans cet ordre !
Tu as donc TA = AC = BA' ([AC] et [BA'] côtés opposés du carré)
Or (AC) // (BA') (côtés opposés du carré)
TAA'B a donc 2 côtés // et de même longueur. C'est un parallélogramme. Donc (AA')//(BT).
Mais (AA') et (BC) sont perpendiculaires (les diagonales d'un carré sont perpendiculaires).
Lorsque deux droites sont parallèles toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.
Donc [tex](BC)\perp (BT)[/tex]
Et maintenant tu places ton théorème sur la tangente...

Dernière modification par yoshi (21-03-2015 18:14:03)

Ninine · 21-03-2015 17:57:07

Merci pour ta réponse ! Je m'efforce de comprendre pour la 2. a mais je ne comprend comment tu arrive à A'(4;-1), avec la méthode des vecteurs je trouve A'(4;5). Je pense que c'est dû au fait que je prenne les coordonnées de I.... Je ne comprend pas.

Dernière modification par Ninine (21-03-2015 18:17:20)

yoshi · 21-03-2015 18:12:59

RE,

Est ce que les coordonnées d'un milieu sont les mêmes que pour les coordonnées d'un point ?

Bin, un milieu c'est bien un point, non ?
On a :
[tex]\overrightarrow{AI}\left(\frac 3 2+1\;;\;\frac 1 2-2\right)[/tex]
soit
[tex]\overrightarrow{AI}\left(\frac 5 2\;;\;-\frac 3 2\right)[/tex] et [tex]2\overrightarrow{AI}(5\;;\;-3)[/tex]
Et tu dois résoudre
[tex]\begin{cases} x+1 &= 5\\y-2&=-3\end{cases}[/tex]

J'ai corrigé une faute de frappe : c'était y-2 et non y-3... C'est peut-être ça qui t'a bloquée ?

@+

Ninine · 21-03-2015 18:25:02

Oui c'est vrai...
Oui c'est ce que j'ai trouvé, mais je ne trouvais pas -3, erreur de signe que j'ai faite même après m'être relu 50 fois ! C'est en fait pour cela, merci ! ;)

Non même pas, désolé !

Dernière modification par Ninine (21-03-2015 19:52:44)

yoshi · 21-03-2015 20:57:07

Bonsoir,

Attention tout de même que ce que tu dois utiliser est la définition de la tangente en un point d'un point d'un cercle :
On appelle tangente en un point d'un cercle, la droite perpendiculaire en ce point au rayon du cercle.
Tu pars de la perpendiculaire et tu conclus à la tangente...

De plus, toi dans ta 2e question, tu veux te servir de la tangente à prouver question 3 pour montrer la perpendicularité...
Tu ne peux pas utiliser la 3e question pour prouver la 2e !

@+

Salameche · 01-01-2017 15:05:14

Comment peut t on utiliser le th de pythagore si on a pas les mesures du triangles BAC ??????

yoshi · 01-01-2017 15:25:53

Salut,

Bonjour, etc... ça écorche la langue ?
Je ne comprends pas bien le pourquoi de ta question.
Mais le "comment faire" est évident, mais je n'ai pas envie de te répondre avant que tu te décides à respecter les règles élémentaires de politesse en vigueur dans les rapports sociaux...

@+

Salameche · 01-01-2017 21:17:39

Bonjour !
Je m'excuse sincèrement j'ai fait cette erreur parce que j'était persuade que j'aurais surement pas de réponse donc je me suis permise de poser directement la question.
Je voulais demander : es ce que on est obliger de démontrer que c'est un carré par des calculs a la question b) ?
Et surtout Comment faire" pour calculer AB et AC alors que l'on a meme pas les mesures ? Et pour pouvoir utiliser le theoreme de pythagore ?!
Merci d'avance ❤️

yoshi · 02-01-2017 10:20:56

Bonjour,

Je m'excuse sincèrement j'ai fait cette erreur parce que j'était persuade que j'aurais surement pas de réponse donc je me suis permise de poser directement la question.

C'est l'excuse la plus bidon que j'aie jamais lue...
Tu poses une question sur un forum de maths en pensant n'avoir pas de réponse, donc tu ne fais pas preuve de correction ?
Étrange quand même et ô combien improductif !...
En ce début d'année, j'ai une provision d'indulgence à offrir...
Allons-y.
I est le milieu de [BC]
A' est le symétrique de A par rapport à I, donc I milieu de [AA'].
Le quadrilatère ABA'C a ses diagonales de même milieu I, c'est donc un parallélogramme.
[tex]AB^2=(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2=(0+1)^2+(-2-2)^2=17[/tex]
[tex]AC^2=(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2=(3+1)^2+(3-2)^2=17[/tex]
Conclusion AB²=AC², donc AB=AC.
Le parallélogramme ABA'C qui a 2 côtés consécutifs de même longueur est donc un losange.
Maintenant 2 méthodes générales.
1. Je montre que [tex]\widehat{BAC}[/tex] est droit : un losange qui possède un angle droit est un carré.
3 possibilités :
a) Je montre que IA=BC/2
Théorème : Si dans un triangle, la médiane relative à l'un des côtés a une longueur moitié de celle de ce côté alors le triangle est rectangle en le point opposé à ce côté.
Commentaire : je suis obligé de calculer BC et IA... Étant donné que j'ai déjà calculé AB et AC, autant utiliser la méthode b) : je gagne un calcul.
b) Je montre que BC²=AB²+AC², donc que d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le tr est rectangle en A.
[tex]BC^2 = (x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2=(3-0)^2+(3+2)^2=9+25=34[/tex]
[tex]AB^2+AC^2=17+17=34[/tex]
BC²=AB²+AC²
c) Avec les vecteurs.
Soient deux vecteurs [tex]\vec V(x\,;\;y) \text{ et } \vec V(x'\,;\;y')[/tex]. Si [tex]xx'+yy' =0[/tex] alors $\vec V$ et $\vec V'$ sont perpendiculaires.
[tex]\overrightarrow{AB}(0+1\,;\,-2-2)[/tex], d'où [tex]\overrightarrow{AB}(1\,;\,-4)[/tex]
[tex]\overrightarrow{AC}(3+1\,;\,3-2)[/tex], d'où [tex]\overrightarrow{AC}(4\,;\,1)[/tex]
[tex]1\times 4 + (-4) \times 1 = 0[/tex] Donc on a bien [tex]\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AC}[/tex]
2. Je montre que BC = AA'. Un losange avec des diagonales de même longueur est un carré.
Commentaire : je suis obligé de calculer BC et AA'... Étant donné que j'ai déjà calculé AB et AC, autant utiliser la méthode 1. b) : je gagne un calcul.

Donc tu as une là une réponse exhaustive.
Si on n'a pas des longueurs mais qu'on a les coordonnées des points, on peut calculer ces longueurs :
[tex]AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}[/tex]
Tout ce qui est fait ci-dessus à part méthode 1. c) fait exclusivement appel qu programme de 3e... Avec 1. c) on est à l'étage au-dessus...

Ça te va ?

@+

Salameche · 02-01-2017 13:32:53

Merci merci infiniment je vais essayer de comprendre.
Sa na rien de bidon c'est la triste vérité je nai jamais commenté sur des forums et étant donner que sa datais de 2015 j'ai cru que je n'aurais pas de réponse, vue que c'est la première fois que je commente.

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 19-03-2015 21:38:20

Tangente à un cercle, 2nd

#2 19-03-2015 23:35:30

Re : Tangente à un cercle, 2nd

#3 21-03-2015 17:57:07

Re : Tangente à un cercle, 2nd

#4 21-03-2015 18:12:59

Re : Tangente à un cercle, 2nd

#5 21-03-2015 18:25:02

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#6 21-03-2015 20:57:07

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#7 01-01-2017 15:05:14

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#8 01-01-2017 15:25:53

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#9 01-01-2017 21:17:39

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#10 02-01-2017 10:20:56

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#11 02-01-2017 13:32:53

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