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#1 06-03-2015 23:08:43

Pauline1
Invité

Intègrale

Bonsoir,
J'aurais besoin de votre aide sur un exo sur lequel je bloque depuis un moment
Merci d'avance
1)calculer une primitive de 1/x^2- sur R\{-1,1}
2)en déduire la valeur de I= l'intégrale de 1 à 2 de (racine(t^3+1))/t dt

Pour la 1) je pensais que c'était -argth mais je me suis rendue compte que argth n'est defini que sur [-1,1],et j'avais réecris
1/x^2-1=1/(x+1)(x-1) mais j'ai pas réussi
Pour la 2) je voulais faire un changement de variable donc j'ai posé x=racine(t^3+1) mais je trouve que l'expression est compliquée

Merci d'avance pour votre aide

#2 07-03-2015 10:03:31

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 947

Re : Intègrale

Bonjour,

Dans la liste des dériuvées à connaître (en principe !) par cœur, figure
[tex]\left(\frac 1 x\right)'=-\frac{1}{x^2}[/tex]

Donc, une primitive de [tex]\frac{1}{x^2}[/tex]  est ....?

2. Es-tu sûre qu'on ne te demande pas plutôt :
[tex]\int _1^2\frac{t^3+1}{t^2}\;dt[/tex]
Parce que sinon le "en déduire" n'a pas de sens. "En déduire" = déduire du 1)...
Mais dans le 1) on te demande une primitive de [tex]\frac{1}{x^2}[/tex].
Or :
[tex]\frac{t^3+1}{t}=\frac{t^3}{t}+\frac{1}{t}= t^2+\frac{1}{t}[/tex]
et :
[tex]\int _1^2\frac{t^3+1}{t}\;dt=\int _1^2\left(t^2+\frac{1}{t}\right)\;dt =\int _1^2 t^2\;dt+\int _1^2\frac{1}{t}\:dt [/tex]


Tandis que :
[tex]\frac{t^3+1}{t^2}=\frac{t^3}{t^2}+\frac{1}{t^2}= t+\frac{1}{t^2}[/tex]
Et
[tex]\int _1^2\frac{t^3+1}{t^2}\;dt=\int _1^2\left(t+\frac{1}{t^2}\right)\;dt =\int _1^2 t\;dt+\int _1^2\frac{1}{t^2}\:dt [/tex]

Autre hypothèse, pas d'erreur dans le 2, mais erreur dans le 1. ou on demanderait une primitive non pas de [tex]\frac{1}{x^2}[/tex] mais de [tex]\frac{1}{x}[/tex].
Dans ce cas [tex]\left(\ln(x)\right)'=\frac{1}{x}[/tex] qui est aussi à savoir.

@+


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#3 07-03-2015 10:09:11

Choukos
Membre
Inscription : 26-12-2010
Messages : 148
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Re : Intègrale

Bonjour,
je crois que vu le début de réponse de Pauline que l'énoncé correct pour la 1 était de donner une primitive de 1/(x^2 -1) sur R \{-1,1}.
Si c'est bien le cas, alors tu étais bien partis pour cette question, il faut ensuite décomposer en éléments simples (elle est pas dure).

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#4 07-03-2015 10:36:30

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 947

Re : Intègrale

Salut Choukos,

Tu dois avoir raison, j'avais bien vu le - mais je l'ai interprété comme un tiret de séparation... :-(
Mais elle aurait dû mettre des parenthèses !

@+


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#5 07-03-2015 11:25:14

Pauline1
Invité

Re : Intègrale

MERCI beaucoup à tous pour vos réponses
en effet, excusez moi j'ai bien oublié le (-1)
Donc, il faut trouver la primitive de 1/(x^2-1)
Merci

#6 07-03-2015 11:38:18

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 947

Re : Intègrale

Salutn

Ok !
Alors Choukos te l'a dit :
tu dois décomposer [tex]\frac{1}{x^2-1}[/tex] en éléments simples.
Si cette indication n'est pas suffisante, alors j'ajoute que [tex]x^2-1=(x+1)(x-1)[/tex]
Tu dois décomposer ta fraction en une somme de 2 fractions au dénominateur plus simple que [tex]x^2-1[/tex]

Est-ce que c'est plus clair ?

@+

Dernière modification par yoshi (07-03-2015 11:46:23)


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#7 07-03-2015 12:30:34

Pauline1
Invité

Re : Intègrale

Merci beaucoup pour votre réponse
En effet c"est ce que j'essaie de faire mais j'y arrive pas,j'ai pensé à l'écrire comme (a/x+1)+(b/x-1) et aprés déterminer a et b
Merci encore

#8 07-03-2015 12:44:51

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 947

Re : Intègrale

Oui, c'est ça

[tex]\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+1}=\frac{1}{x^2-1}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow[/tex]

[tex]\frac{a(x+1)+b(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{1}{x^2-1}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow[/tex]

[tex]\frac{(a+b)x+a-b}{(x-1)(x+1)}=\frac{1}{x^2-1}[/tex]

Et maintenant tu identifies les coefficients du numérateur du 1er membre avec ceux du numérateur du 2e membre  [tex]0x+1[/tex]


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#9 07-03-2015 12:56:06

Pauline1
Invité

Re : Intègrale

Merci beaucoup, vos explications et votre aide m'ont beaucoup aidé
Donc je trouve a=1/2 et b=-1/2
pour la primitive de 1/(x^2-1) je trouve 1/2(ln(x+1/x-1)
Merci

#10 07-03-2015 13:23:02

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 947

Re : Intègrale

Presque...
Sauf que
[tex]\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{2(x-1)}-\frac{1}{2(x+1)}=\frac 1 2 \times \left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)[/tex]

Et une primitive est donc :
[tex]\frac 1 2 \times\left(\ln(x-1)-\ln(x+1)\right)=\frac 1 2\ln\left(\frac{x-1}{x+1}\right)[/tex] et non l'inverse !

Au passage, attention à ce que tu écris sans LateX : dans l'esprit c'est juste, techniquement c'est faux : il manque des parenthèses ! :-(


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#11 07-03-2015 13:25:14

Pauline1
Invité

Re : Intègrale

Merci beaucoup
pour la 2) je vois pas comment déduire de la 1) je ne trouve pas trop de rapport entre les 2 questions
Merci

#12 07-03-2015 14:39:16

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 947

Re : Intègrale

RE,

Si l'énoncé est bien :  [tex]\int _1^2\frac{t^3+1}{t}\;dt[/tex], moi non plus je ne vois pas  le rapport entre la 2e et la 1ere question...
Surtout que la question du calcul de l'intégrale, sans la mention "En déduire", aurait pu être posée avant la 1ere sans souci...

@+


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#13 07-03-2015 14:48:43

Pauline1
Invité

Re : Intègrale

Il manque une racine
C'est racine ( t^3+1)

#14 07-03-2015 16:17:24

Choukos
Membre
Inscription : 26-12-2010
Messages : 148
Site Web

Re : Intègrale

Re bonjour à vous deux,
Désolé d'avoir lâché la discussion en cours, je devais filer...
Pour la deuxième question ton changement de variable Pauline devrait marcher. Du moins chez moi j'ai d'abord posé u=1+t^3 puis v=sqrt(u) et j'obtiens quelque chose de la forme de la question 1.

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#15 07-03-2015 16:40:57

Pauline1
Invité

Re : Intègrale

Merci beaucoup pour votre réponse
fin moi je m'en sors pas avec ce changement de variable, je me retrouve avec une racine cubique au dénominateur

#16 07-03-2015 19:27:17

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 457

Re : Intègrale

Salut,

c'est un très joli sujet, d'inspiration TC plus que TS spé maths.. Et en effet, de 1), on déduit 2), mais faut pas rester les deux pieds dans le même sabot.

Donc on doit déduire de 1) l'intégrale [tex]I=\int_1^2 \frac{\sqrt{t^3+1}}{t}dt[/tex].

Le changement de variable [tex]x=\sqrt{t^3+1}[/tex] est en effet opportun mais il faut faire le boulot jusqu'au bout, savoir :

[tex]t = (x^2-1)^{\frac13}[/tex] et [tex]dt = \frac23\times \frac{x}{(x^2-1)^{\frac23}}dx[/tex] et [tex]I=\frac23 \int_{\sqrt2}^3 \frac{x^2}{x^2-1}dx[/tex].

Puis, comme le dit la pub, ce n'est pas fini : il faut à nouveau décomposer [tex]\frac{x^2}{x^2-1}[/tex] en éléments simples de la forme [tex]a + \frac{b}{x+1}+ \frac{c}{x-1}[/tex] pour renouer avec le 1).

Pour les primitives du 1), gaffe les gars, car on les calcule sur [tex]\mathbb{R}[/tex] \{-1, 1}=> mettre en valeur absolue, please :-)

Dernière modification par freddy (07-03-2015 19:31:27)


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#17 07-03-2015 21:55:41

Pauline1
Invité

Re : Intègrale

Bonsoir,
MERCI beaucoup pour votre aide,
alors pour je trouve a=1 b=-1/2 et c=1/2
pour la primitive je trouve x+1/2ln(x-1/x+1)
et I=((6-2sqrt2)/2)*1/2*ln(1/2)
Merci beaucoup

#18 08-03-2015 04:50:03

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 457

Re : Intègrale

Re,

je suis allé un peu trop loin. Pour faire le lien avec le 1), faut juste remarquer que [tex]\frac{x^2}{x^2-1} = 1+\frac{1}{x^2-1}[/tex] et enchaîner : [tex]I=\frac23 (3-\sqrt2)+\frac13 ( -ln2-2ln(\sqrt2-1))[/tex]


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#19 08-03-2015 11:12:02

Pauline1
Invité

Re : Intègrale

Bonjour
Merci beaucoup pour tout votre aide
j'ai réussi à retrouver le résultat
Merci et bonne journée

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