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- Contributions : Récentes | Sans réponse
#1 06-03-2015 00:12:27
- tibo
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Points à coordonnées entière dans une boule
Salut,
Un ami m'a posé ce problème :
"Combien y a-t-il de points à coordonnées entières dans la boule fermée de centre 0 et de rayon [tex]r\in\mathbb{R}^+[/tex] dans un espace de dimension [tex]d\in\mathbb{N}^*[/tex]?"
Le connaissant, la réponse n'est surement encore connue pour toutes les dimensions, mais je me suis penché sur la question en dimension 2, et c'est déjà bien difficile.
Peut-être auriez-vous une idée?
Dernière modification par tibo (06-03-2015 00:12:54)
A quoi sert une hyperbole?
----- A boire de l'hypersoupe pardi !
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#2 06-03-2015 18:12:51
- freddy
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Re : Points à coordonnées entière dans une boule
Salut,
tu cherches une formule ou des résultats ?
Si tu veux des résultats, un bon petit pgm informatique devrait répondre à la question.
La formule doit demander un peu plus de réflexion.
Question subsidiaire : tu cherches bien tes points dans l'orthant positif de [tex]\mathbb{R}^d[/tex] ?
Dernière modification par freddy (06-03-2015 18:13:09)
De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.
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#3 06-03-2015 18:42:08
- tibo
- Membre expert
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Re : Points à coordonnées entière dans une boule
Re,
L'orthant positif de [tex]\mathbb{R}^d[/tex]? c'est quoi?
par espace de dimension d, en fait je devrais plutot dire [tex]\mathbb{R}^d[/tex]
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#5 07-03-2015 12:18:09
- tibo
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Re : Points à coordonnées entière dans une boule
Non en fait je cherche les points de [tex]\mathbb{R}^d[/tex] à coordonnées dans [tex]\mathbb{Z}[/tex].
Mais ça revient au même en fait. Si on trouve le nombre de point dans l'orthant positif de [tex]\mathbb{R}^d[/tex], il n'y a plus beaucoup de travail pour passer sur tout [tex]\mathbb{R}^d[/tex].
L'idéal serait de trouver une formule.
Informatiquement je sais faire pour quelque cas particuliers. Mais le cas général me pose vraiment problème.
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#6 07-03-2015 19:52:50
- freddy
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Re : Points à coordonnées entière dans une boule
Salut,
j'ai une idée : considère un pavé de côté r. On calcule facilement le nombre de points à coordonnées entières dans ce pavé. Ensuite, prends la boule de rayon r inscrite dans ce pavé et retire les points dans le pavé mais hors boule ...
Autre piste : rajoute les points du pavé à ceux inclus dans la boule qui circonscrit le pavé ...
De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.
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#7 07-03-2015 20:56:19
- tibo
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Re : Points à coordonnées entière dans une boule
C'est une piste... mais tu fais comment pour savoir combien de points tu rajoute ou enlève de ton pavé?
Une idée en dimension 2 : J'ai pensé à travailler dans le "huitième" de plan compris entre l'axe des abscisses et la première bissectrice.
Dans cet ensemble, on peut établir la liste des points à coordonnées entières, puis les ordonner selon la distance à l'origine... et après je coince...
A quoi sert une hyperbole?
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#8 08-03-2015 22:48:51
- Fred
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Re : Points à coordonnées entière dans une boule
Salut,
Bien sûr, ton problème dépend de la norme que tu veux utiliser, mais je suppose que tu veux utiliser la norme euclidienne.
C'est sans doute difficile (impossible?) de trouver une formule exacte, mais je pense qu'on peut trouver un encadrement à l'aide de raisonnements de type volume.
Supposons par exemple qu'on est en dimension 2 (mais cela se généralise en dimension d), et considère tous les carrés du type [a-1/2,a+1/2]x[b-1/2,b+1/2] où (a,b) est un point à coordonnées entières dans le disque de centre O de rayon r. Le nombre que tu recherches est exactement égal à la somme de l'aire de chacun ce ces carrés, puisque chaque carré est d'aire 1. Ces carrés sont presque disjoints, la somme de leurs aires est égale à la somme de l'aire de leur réunion.
Mais la réunion de ces carrés est contenue dans le disque de rayon [tex]r+\frac{\sqrt 2}2[/tex], et il contient très certainement le disque de rayon [tex]r-1[/tex] (on doit pouvoir faire mieux). Donc le nombre recherché est compris entre [tex]\pi(r-1)^2[/tex] et [tex]\pi(r+\sqrt 2/2)^2[/tex]. En particulier, il est équivalent à [tex]\pi r^2[/tex] si [tex]r\to+\infty[/tex].
En dimension d, le nombre va être très certainement équivalent au volume de la boule de rayon r, si r tend vers l'infini. Bien sûr, on connait le volume de cette boule.
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