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Harmey

Invité

Décomposition en éléments simples

Bonjour, je dois donner la DES de [tex]F(X) = \frac{3X² - 1} { (X-1)²X²(X+1)²}[/tex]

Soit [tex]A(X)=3X²-1[/tex], deg(A)=2
Soit [tex]B(X)=(X-1)²X²(X+1)²[/tex], deg(B)=6
deg(A)<deg(B) donc E=0

le dénominateur est déjà factorisé et on a -1,0 et 1 racines doubles.

Je cherche donc F de la forme a/X-1 + b/(X-1)² + c/X + d/X² + e/X+1 + f/(X+1)² avec a,b,c,d,e,f des réels.
Seulement au moment de calculer les coefficients, j'ai déjà un problème..
Pour calculer a : a= (X-1)*F(X) |X=1 mais comment est-ce que je peux me débrouiller, en faisant ça, je trouve un dénominateur nul..
Faut-il que je commence plutôt par calculer b=(X-1)²*F(X)|X=1 et qu'ensuite je dérive (X-1)² pour trouver a ?

Merci d'avance :)

Fred

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Re : Décomposition en éléments simples

Salut,

  La méthode générale est décrite ici.
Tu as raison, il faut d'abord calculer b avant de calculer a, en multipliant F par (X-1)² et en faisant X=1.
On retranche ensuite b/(X-1)^2 à F, et on en déduit a.

Fred.