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marwan33

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Dm thème suites

bonjour, j ai un devoir maison comportant 2 partie(la partie A est terminé) où je rencontre des difficultés voici l'énoncer:
Un homme met un couple de jeunes lapins dans un enclos et considère que:
-La maturité sexuelle du lapin est atteint après un mois qui est aussi la durée de gestation
-chaque porté comporte un mâle et une femme
-les lapin ne meurent pas
Combien de couple devrait-il obtenir en un an si chaque couple engendre tous les mois un nouveau couple à compter du troisième moi de son existence?
On note Fn nombre de couple de lapin au début du mois n, pour n>=1 et on admet pour n>=1 on a: Fn+2 = Fn+1 + Fn avec F1=1 et F2=1

Partie B
Cn = Fn+1 / Fn

1.calculer C1 puis montrer que Cn+1 = 1+1/ Cn
2.Calculer C2 C3 C4 C5
3.a compléter algorithme pour calculer les terme de suite (Cn)
3.b Calculer C7
3.d déterminer à l'aide de votre programme mise dans votre calculatrice la valeur entière N telle que pour tout n>= on ait 1.618< Cn < 1.1669

Ma démarche:
Pour la 1. j ai trouvé que C1= F1+1 /F1 = F2/F1= 1. Pour la démonstration je bloque; 2. C2=2 C3= 1.5 C4 = 1.6 C5=1.625 3.

ensuite l'algo

Variable: n c i sont des nombres
entré: saisir n

Traitement: C prend la valeur ?
Pour i allant de 2 à n
c prend la valeur ?

Fin pour Afficher c

et pour les question qui suit j ai ma petit idée

j aurait donc besoin de l aide au niveau de l'algorithme  et la démonstration

Merci

yoshi

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Re : Dm thème suites

Bonjour,

Bienvenue chez nous...
Ok pour C1.
[tex]C_{n+1}[/tex] ?
L'énoncé dit : [tex]C_n=\frac{F_{n+1}}{F_n}[/tex]
On écrit donc en incrémentant les indices de 1 :
[tex]C_{n+1}=\frac{F_{n+2}}{F_{n+1}}[/tex]

Mais, si tu remontes plus haut dans l'énoncé, on t'a aussi donné [tex]F_{n+2}=F_{n+1}+F_n[/tex] que tu vas t'empresser de remplacer au numérateur :
[tex]C_{n+1}=\frac{F_{n+1}+F_n}{F_{n+1}}=\frac{F_{n+1}}{F_{n+1}}+\frac{F_n}{F_{n+1}}=1+\frac{F_n}{F_{n+1}}[/tex]

Maintenant compare le 2e terme [tex]\frac{F_n}{F_{n+1}}[/tex]   avec   [tex]C_n=\frac{F_{n+1}}{F_n}[/tex]
Qu'est-ce que tu vois ?
Alors je te laisse poursuivre.
Le procédé utilisé est classique dans les Suites : il faudra t'en souvenir...

Algo
Entrée : saisir n

Traitement:
C prend la valeur 1
Pour i allant de 2 à n
    C prend la valeur 1+1/C
Fin pour
Afficher c

Maintenant on améliore...
On te demande la valeur N de i telle  que l'algo s'arrête dès que si i>=N alors 1,618<C<1,619....
Alors tu as besoin de ce N, et ton algo ne te le donne pas...
Pour le connaître, il faut rentrer l'affichage de C dans la boucle et ajouter celle de i :

Entrée : saisir n

Traitement:
C prend la valeur 1
Pour i allant de 2 à n
    C prend la valeur 1+1/C
Afficher i
Afficher C (sur la même ligne que i)
Fin pour

J'ai tapé cet algo en langage Python; voilà les sorties pour n = 24:

2 2.0
3 1.5
4 1.6666666666666665
5 1.6
6 1.625
7 1.6153846153846154
8 1.619047619047619
9 1.6176470588235294
10 1.6181818181818182
11 1.6179775280898876
12 1.6180555555555556
13 1.6180257510729614
14 1.6180371352785146
15 1.6180327868852458
16 1.618034447821682
17 1.618033813400125
18 1.6180340557275543
19 1.6180339631667064
20 1.6180339985218035
21 1.618033985017358
22 1.6180339901755971
23 1.6180339882053252
24 1.6180339889579018

Et la réponse est N =12..

Il fallait se garder de tout jugement hâtif et dire N=10 parce que pour N =11 on n'a de nouveau plus 1,618<C<1,619...
Par contre à partir de i>=12, plus de problème...

Ça te va ?

@+

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marwan33

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Re : Dm thème suites

Merci beaucoups mais y a juste un truc qui cloche dans mon dm à la question 2 on me dit de trouver Cn+1 = 1 +1/Cn or je comprend pas pourquoi vous tombez Cn+1= 1+Fn/Fn+1 ?

yoshi

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Re : Dm thème suites

RE,

Au temps pour moi, j'ai cru que ça se verrait comme nez au milieu de la figure...
Voilà :
[tex]C_{n+1}=\frac{F_{n+1}+F_n}{F_{n+1}}=\frac{F_{n+1}}{F_{n+1}}+\frac{F_n}{F_{n+1}}=1+\frac{F_n}{F_{n+1}}[/tex]
Or, il fallait voir que :
[tex]\frac{F_n}{F_{n+1}}=\frac{1}{\frac{F_{n+1}}{F_n}}=\frac{1}{C_n}[/tex]
(On passe par l'inverse)

On a donc bien :
[tex]C_{n+1}=1+\frac{F_n}{F_{n+1}}=1+\frac{1}{\frac{F_{n+1}}{F_n}}  =1+\frac{1}{C_n}[/tex]

C'est bon, tu vois mieux maintenant ?

@+

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marwan33

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Re : Dm thème suites

Oui merci beaucoup