Equation dans Z/pZ

Legendre · 27-02-2015 13:33:03

Salut,

Encore bloqué sur un exercice, le voici :

Soit [tex]p[/tex] un nombre premier supérieur ou égal à 3.

a) Montrer que le nombre de carrés de [tex]\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[/tex] est [tex]\frac{p+1}{2}[/tex].
b) Montrer que l'élément de [tex]x\in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[/tex] est un carré si et seulement si [tex]x^\frac{p+1}{2}=x[/tex].
c) Pour quels [tex]p[/tex] la classe de [tex]-1[/tex] modulo [tex]p[/tex] est-elle un carré de [tex]\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[/tex]?
d) Déterminer le cardinal de l'ensemble [tex]S[/tex] des [tex](x,y)\in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^2[/tex] tels que [tex]x^2+y^2=1[/tex]

J'en suis à la dernière question, et pour la c) j'ai trouvé [tex]p=1 (4)[/tex], je suppose qu'il faut distinguer alors le cas [tex]p=1 (4)[/tex] du cas [tex]p=-1 (4)[/tex] mais je ne vois pas trop comment m'y prendre, merci de votre aide.

freddy · 28-02-2015 20:17:23

Salut coco,

tu vois, pour t'aider, j'ai un peu cherché sur la toile, car ces sujets sont trop anciens pour moi. Le thème exact est la recherche du nombre de résidus quadratiques dans [tex]Z/pZ[/tex].
Et devine ce que j'ai trouvé du premier coup ? Non seulement les réponses à tes premières questions, mais en outre une erreur dans ton énoncé. Il faut lire [tex]\frac{p-1}{2}[/tex]. Ça commence bien !...

Alors je vais me répéter, mais j'en ai un peu assez des gens comme toi et autre mona123 ou aymen123 qui viennent poser sur le site des questions sur des sujets qu'ils sont censés apprendre à maîtriser car d'assez haut niveau (genre L3/4, et on n'y arrive pas par un simple concours de circonstances) et pour lequel quelques questions bien posées sur la toile permettent d'avoir des réponses à ajuster.

Nom d'une pipe en terre, achetez les livres qui vont bien, sinon allez en B-U, fouiller la toile, mais franchement, arrêtez de vous comporter comme des collégiens qui se noient dans un dé à coudre, nous ne pouvons pas faire les recherches à votre place ou remplacer les bouquins que vous devez étudier !

Ensuite, si un point de détail d'une démo. vous embarrasse, OK, Fred peut aider, mais arrêtez de nous demander la lune, on ne la livrera pas !

J'ai dit !

Roro · 28-02-2015 22:16:14

Bonsoir,

Je suis entièrement d'accord avec Freddy...
Je dirais même que pour ce type de question "classique" mais d'un niveau non élémentaire, google est souvent aussi bon que nous !

Roro.

Fred · 28-02-2015 22:35:53

Salut,

Je vous trouve un peu vache avec Legendre. Contrairement à beaucoup d'autres (trop d'autres!) sur ce forum, je pense qu'il maitrise ce qu'il dit, il ne vient jamais poser de questions complètement "à côté". D'ailleurs, si vous relisez bien son message, il a répondu aux trois questions classiques de l'exercice, les trois premières. La dernière, je ne la connaissais pas, j'ai essayé 10minutes hier de trouver une solution, je n'ai pas trouvé, j'ai googlisé, et je n'ai rien trouvé non plus!
Donc, moi aussi, je veux bien qu'on m'explique le raisonnement pour la dernière question.

Fred.

freddy · 28-02-2015 23:30:08

Re,

voilà ce que j'ai trouvé en un passage sur la toile. maths
La dernière remarque est intéressante.

PS : @Fred, oui, je me suis lâché sur Legendre, mais c'est loin d'être le pire. Ce qui m'a juste un peu énervé est l'erreur entre p+1 et p-1 <=> pas de rigueur, ni de relecture ... J'étais parti avec n=5 et j'ai commencé à chercher les 3 résidus quadratiques quand ...
Une fois, un gars pose un sujet d'arithmétique. Tu lui expliques les réponses aux questions qu'il ne comprenait pas avant que le gars ne se réveille et change l'énoncé. Le sujet n'était guère plus difficile, juste un poil plus subtil, mais tant de désinvolture m'avait aussi pas mal agacé. Je devrais peut-être plus me reposer :-) mais j'ai du mal à oublier une "ancienne" d'ici qui a été suivie de la classe de première jusqu'à la fin de sa Spéciale et dont les demandes d'aide étaient bien dans l'esprit du site.

Dernière modification par freddy (01-03-2015 13:23:35)

Roro · 01-03-2015 00:48:23

Bonsoir,

Le commentaire que j'ai fait (post #3) n'était pas adressé à Legendre mais était une réponse au message de Freddy.
Bon, j'ai quand même compris le message et je vais donner une réponse à la troisième question :

Je note [tex]N(a)[/tex] le nombre de solution dans [tex]Z_p[/tex] à l'équation [tex]x^2=a[/tex].
Pour simplifier, j'introduit aussi le symbole de Legendre, sic! (qui est à peu près la même chose que [tex]N[/tex]) :
Je note [tex](\frac{a}{p})=0[/tex] si [tex]a=0~[p][/tex], [tex](\frac{a}{p})=1[/tex] si [tex]a\neq 0[/tex] est un carré modulo [tex]p[/tex], [tex](\frac{a}{p})=-1[/tex] sinon.
Il est à peu près clair que [tex]N(a) = 1 + (\frac{a}{p})[/tex].

Le cardinal [tex]s[/tex] de l'ensemble [tex]S[/tex] (question 3) de Legendre peut s'écrire
[tex]s = \sum_{a,b \in Z_p\, ;\, a+b=1} N(a)N(b) = \sum_{a \in Z_p} N(a)N(1-a).[/tex]
En utilisant le symbole de Legendre :
[tex]s = \sum_{a \in Z_p} ( 1 + (\frac{a}{p}) ) ( 1 + (\frac{1-a}{p}) ).[/tex]
On peut utiliser alors les résultats suivants
[tex]\sum_{a \in Z_p} 1 = p[/tex] (cardinal de [tex]Z_p[/tex])
[tex]\sum_{a \in Z_p} (\frac{a}{p}) = 0[/tex] (autant de carrés que de non carrés dans [tex]Z^p[/tex], sans compter [tex]0[/tex]...)
et enfin, pour [tex]a\neq 0[/tex]
[tex](\frac{a}{p}) (\frac{1-a}{p}) = (\frac{a}{p})^{-1} (\frac{1-a}{p}) = (\frac{a^{-1}-1}{p})[/tex] (multiplicativité du symbole de Legendre, facile à montrer)
pour en déduire
[tex]s = p + \sum_{a \in Z_p^\star} (\frac{a^{-1}-1}{p}).[/tex]
Puisque [tex]a \mapsto a^{-1}-1[/tex] est une bijection de [tex]Z_p^\star[/tex] sur [tex]Z_p\setminus \{-1\}[/tex], on obtient finalement
[tex]s = p - (\frac{-1}{p}).[/tex]
D'après la question 2, on sait que [tex](\frac{-1}{p}) = (-1)^{\frac{p-1}{2}}[/tex] d'où
[tex]s = p - (-1)^{\frac{p-1}{2}}[/tex].

Roro.

P.S. Il doit y avoir une solution plus directe !!!

totomm · 01-03-2015 22:47:59

Bonsoir,

D'après ce que j'ai compris de l'énoncé

a) Montrer que le nombre de carrés de [tex]\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[/tex] est [tex]\frac{p+1}{2}[/tex].

C'est bien [tex]\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[/tex] dont il s'agit et non de [tex]\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}^*[/tex]

d) Déterminer le cardinal de l'ensemble [tex]S[/tex] des [tex](x,y)\in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^2[/tex] tels que [tex]x^2+y^2=1[/tex]

[tex]Le\ cardinal\ de\ S\ est\ (p-1)\ si\ p\ =\ 1(4),\ (p+1)\ sinon.[/tex]

Fred · 02-03-2015 00:24:11

totomm a écrit :

[tex]Le\ cardinal\ de\ S\ est\ (p-1)\ si\ p\ =\ 1(4),\ (p+1)\ sinon.[/tex]

La formule de Roro ne dit pas autre chose...

Roro · 02-03-2015 09:08:05

totomm a écrit :

Bonsoir,
[tex]Le\ cardinal\ de\ S\ est\ (p-1)\ si\ p\ =\ 1(4),\ (p+1)\ sinon.[/tex]

Bonjour totomm,

Comment le démontres-tu ? Parce que je n'ai pas de méthode plus simple que celle que j'ai développée ci-dessus. Est ce que tu le fais en distinguant les deux cas ?

Roro.

Dernière modification par Roro (02-03-2015 09:08:50)

totomm · 02-03-2015 10:08:52

Bonjour,

J'avais rédigé un texte pour dire pourquoi la réponse du a) était bien [tex]\frac{p+1}{2}[/tex]et non [tex]\frac{p-1}{2}[/tex]. Et j'y avais ajouté un résultat au d) obtenu sur plusieurs exemples numériques sans le démontrer, ce que j'aurais dû préciser.

La démonstration de Roro est fantastique et j'ai mis quelque temps pour l'assimiler.

freddy · 03-03-2015 00:44:28

Salut,

suis d'accord pour le a), au temps pour moi. Comme quoi, la "colère" est toujours très mauvaise conseillère ...

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#1 27-02-2015 13:33:03

Equation dans Z/pZ

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