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#1 26-02-2015 12:02:02

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 457

Foot et maths !

Salut,

j'ai croisé sur la toile un problème a priori simple et je ne m'en sors pas : je n'arrive pas à trouver un raisonnement simple et solide pour répondre aux questions, qui évite le calcul informatique, et ça me chauffe un peu les oreilles :-)

ENONCE

Dans un tournoi de football qui réunit [tex]n[/tex] équipes, chaque équipe rencontre une fois les autres équipes.
Le vainqueur d’un match prend 3 points, le perdant 0 point et en cas de match nul, chaque équipe prend 1 point.
A l’issue du tournoi, les scores forment une suite d’entiers consécutifs.

QUESTIONS

Quel est le nombre maximal de points obtenus par le dernier du classement ?

Application numérique : [tex]n = 8[/tex].
La lanterne rouge a obtenu le score maximal.

[tex]Q_1[/tex] Est-il possible qu’une même équipe réalise exclusivement des matchs nuls ?

[tex]Q_2[/tex] Simuler un tableau de résultat de toutes les rencontres dans lequel le leader a perdu ses matchs contre les deux dernières équipes du classement.

Source : Ph. F

Dernière modification par freddy (26-02-2015 12:02:34)


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

Hors ligne

#2 26-02-2015 23:05:20

Okli
Invité

Re : Foot et maths !

Si n=8 donc 1 équipe affronte 7 autres
-le nombre de points maximal que peut obtenir une équipe est X=3x7=21
-le nombre de points minimal que peut obtenir une équipe est x=0x7=0
Pour que le dernier du classement puisse obtenir un score maximal (avec son statut de dernier), il faut:
-que son nombre de points soit strictement inférieure au nombre d'équipes adversaires donc x<7
Pour qu'une équipe puisse obtenir exclusivement des matchs nuls, il faut:
-que son nombre de points soit égal au nombre d'équipes adversaires donc x=7
Soit Q2 le classement final dans lequel le leader a perdu ses matchs contre les deux dernières équipes de ce classement:
   Position     Nombre de Points     Victoires     Nuls     Défaites     Journées
   Leader                  13                    4             1            2              7
   Dauphin                12                    4             0            3              7
   Troisième              11                    3             2            2              7
   Quatrième             10                    2             4            1              7
   Cinquième            09                    2             3            2              7
   Sixième                08                    2             2            3              7
   L'avant-dernière     06                    1             3            3              7
   Dernière               06                    1             3            3              7

#3 01-03-2015 12:32:53

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 457

Re : Foot et maths !

Salut,

pourquoi le dernier et l'avant dernier ont-ils autant de points ?


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

Hors ligne

#4 13-04-2015 16:51:02

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 457

Re : Foot et maths !

Salut,

j'ai enfin mis la main sur une solution. Ce n'est pas un sujet aussi facile que prétendu, il est du niveau d'une olympiade de mathématiques.

SOLUTION (en chantier ...)

Parmi les [tex]\frac{n(n-1)}{2}[/tex] matches, notons [tex]u[/tex] le nombre de matches nuls et [tex]d[/tex] le score du dernier.

Lors d'un match nul, [tex]1 + 1 = 2[/tex] points sont distribués ; sinon [tex]3 + 0 = 3[/tex] points. D'où la relation :
[tex]2u + 3\left(\frac{n(n-1)}{2}-u\right) = d + ... + d+n-1[/tex] ou encore après simplification [tex]d = n - 1 - \frac{u}{n}[/tex].
Rappel : les scores rangés par ordre croissant sont en progression arithmétique de raison 1.

On en déduit que [tex]u = kn[/tex] et [tex]d = n - 1 - k[/tex]. [tex]k=0[/tex] (aucun match nul) rendrait impossible de générer un score non nul modulo 3. Montrons par récurrence que [tex]d_{max} = n-2[/tex] pour [tex]n \ge 4[/tex].

Exemple de tableau avec n = 4 :
x101
1x11
31x0
113x

Le passage de n = 3k+1 à n+1 se fait en ajoutant la ligne 1(033)...k fois...(033) (et la colonne "symétrique" avec 0<->3). En opérant un ensemble fini de permutations de blocs (2 lignes et les 2 colonnes de mêmes indices), on peut toujours faire en sorte de réordonner les totaux dans l'ordre croissant. Le passage de n = 3k+2 à n+1 se fait en ajoutant la ligne (033)...k fois...(033)01 Le passage de n = 3k+3 à n+1 se fait en ajoutant la ligne 1(033)...k fois...(033)03

[tex]Q_1[/tex] : si cela était possible, l'équipe qui réalise 7 matchs nuls a en particulier fait match nul avec la lanterne rouge dont le score est soit [tex]1+1+1+3=6[/tex] ou [tex]1+1+1+1+1+1=6[/tex] ; la lanterne rouge a donc réalisé au moins 3 matchs nuls. Cela fait en tout au moins [tex]3+7-1=9[/tex] matches nuls, ce qui est contradictoire d'après le raisonnement qui précède ([tex]u=n=8[/tex]).

[tex]Q_2[/tex] : voici un exemple de tableau de résultat dans l'ordre croissant des scores (les résultats de la lanterne rouge sont en première ligne ; ceux du premier en dernière ligne) :

x1110003
1x030003
13x13000
101x3310
3300x130
33301x10
333101x1
0033331x


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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