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UnThesard

Invité

Inégrale double sur un pavé

Bonjour à tous,

Je suis actuellement doctorant en troisième année d'informatique, et l'un des phénomènes que je modélise prend la forme d'une intégrale double sur un pavé :
[tex]
\int_{x_0}^{x_1}\int_{y_0}^{y_1} \frac{1}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2} dx dy
[/tex]
avec [tex]z>0[/tex]

Les coordonnées [tex]x[/tex] et [tex]y[/tex] étant en pratique des coordonnées pixelliques, jusqu'ici j'approchais brutalement l'intégrale par une somme finie. Pour de très grandes images le temps de calcul devient prohibitif, et j'aurais souhaité utiliser la vraie valeur de l'intégrale. Toutefois, je sèche un peu sur le calcul... En utilisant Wolfram Alpha, j'obtiens une somme d'arc-tangeantes pour la "primitive" :
[tex]
\int\int \frac{1}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2} dx dy = \frac{1}{2z^2} \left(
\frac{x \tan^{-1} \left( \frac{y}{\sqrt{x^2+z^2}} \right) }{\sqrt{x^2+z^2}}
+
\frac{y \tan^{-1} \left( \frac{x}{\sqrt{y^2+z^2}} \right) }{\sqrt{y^2+z^2}}
\right)
[/tex]

Si je comprends comment on obtient cette primitive, je devrais m'en sortir pour l'intégrale, mais je sèche. La présence des arctan me semble indiquer que l'on puisse écrire :
[tex]
\int\int \frac{1}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2} dx dy =
\frac{x}{2z^2} \int_y \frac{1}{x^2+y^2+z^2} dy
+\frac{y}{2z^2} \int_x \frac{1}{x^2+y^2+z^2} dx
[/tex]
mais je ne vois pas du tout comment aboutir à cette équation : c'est probablement très simple, mais j'ai perdu les habitudes du calcul intégral depuis quelques temps...   Je sollicite donc votre aide pour m'assister dans ce calcul...

Cordialement

totomm

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Re : Inégrale double sur un pavé

Bonjour,

Je pense que ce sont les intégrations successives par rapport à x en posant a=y²+z², puis par rapport à y en posant b=x²+z², qui font apparaitre les 2 termes de l'intégrale, et pas votre dernière décomposition avant intégration.
A vérifier, je n'ai pas regardé de façon précise et détaillée...
l'intégrale indéfinie est en tout cas symétrique en x et y...

UnThesard

Invité

Re : Inégrale double sur un pavé

Bonjour, et merci pour la réponse rapide.

J'ai effectivement d'abord essayé ça, mais si la première intégration par rapport à x (ou y, puisqu'effectivement tout est symétrique) ne pose aucun problème et donne une arc-tangeante, je bloque dans ce cas sur la deuxième intégration, par rapport à la variable restante, qui me paraît beaucoup moins triviale...