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Blis3

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Densité d'une variable aléatoire

Re bonjour à tous, toujours dans le but de me préparer au concours et notamment au chapitre sur les variables à densité, j'aimerais avoir une aide sur cet exercice car je n'ai pas les corrigés ....

Soit f une densité d'une variable X telle que f(x)=0 si x est dans R- et f(x)>0 si x est dans R+*. On suppose de plus que f est continue sur R+*. Pour t appartient à R, on pose R(t)=1-P(X<=t) et pour t>0, on pose; H(t)=lim 1/xP((t<X<=t+x/X>t)) quand x tend vers 0 et x>0.

a) Quel est le lien entre R et f ?

b) Pour t>0, exprimer H(t) en fonction de R(t) et f(t)

c) On suppose que H est constante. Quelle est la loi suivie par X ?

j'a fait :

a) R(t)=1-F_X(t) donc R'(t)=-F'_X(t)=-f_X(t) mais après c'est une relation entre R' et non R donc je pense avoir faux

b) H(t)=lim 1/x * P(t<X<^t+x et X>t)/P(x>t)

j'hésite merci de m'expliquer

Choukos

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Re : Densité d'une variable aléatoire

Re,
Pour la a) je dirais que [tex]R(t)= \int_{t}^{+\infty}f(x)dx[/tex]. C'est le lien qui me semble le plus naturel...
Pour la suite je n'arrive pas à lire ton expression pour H.

Blis3

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Re : Densité d'une variable aléatoire

a) ok mais comment avez vous raisonné pour trouver ceci

b)désolé je réécris ça bien :

[tex]lim 1/xP((t<=X<=t+x)/X>t)[/tex]

Blis3

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Re : Densité d'une variable aléatoire

avec lim quand x tend vers 0 pour x à valeurs positives

Fred

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Re : Densité d'une variable aléatoire

Salut,

  Pour exprimer, H, la première chose à faire est d'utiliser la définition d'une probabilité conditionnelle.
Tu obtiens que
[tex]P(t\leq X\leq t+x|X>t)=\frac{P(t\leq X\leq t+x)}{P(X>t)}.[/tex]
Le dénominateur s'exprime facilement en fonction de R, et le numérateur facilement en fonction de f.

Ensuite, tu dois diviser par x et trouver la limite quand x tend vers 0. Pour cela, tu vas avoir besoin de calculer la limite de
[tex]\frac 1x\int_{t}^{t+x}f(u)du[/tex]. Si tu poses [tex]G(x)=\int_t^{t+x}f(u)du[/tex], tu obtiens le taux d'accroissement
[tex]\frac{G(x)-G(0)}{x-0}[/tex]....

Fred.

Blis3

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Re : Densité d'une variable aléatoire

bonjour,

donc le dénominateur vaut R(t) par contre pour le numérateur je ne vois pas en fonction de f...et je n'ai pas très bien compris la réponse à la a) que Choukos a donné

mais comment exploiter le taux d'accroissement car il va me donner la dérivée de G en 0 ici non?

Fred

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Re : Densité d'une variable aléatoire

Blis, j'écris à 21h02, tu réponds à 21h06 en ayant répondu à un autre message à 21h03.
Crois-tu que tu as vraiment réfléchi????
Pour le numérateur en fonction de f, c'est la base du calcul des probabilités lorsqu'on a une variable aléatoire à densité!
Et pour le taux d'accroissement, oui, sa limite va donner la dérivée de G en 0.

F.

Blis3

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Re : Densité d'une variable aléatoire

désolé j'ai écrit trop vite...

Donc pour le numérateur :

P(t<=X<=t+x)=F(t+x)-F(t)=int(f(x) entre -oo et 0 - int(f(x) entre 0 et +oo = 0-[F'(x)] entre 0 et +oo d'après l'énoncé = -int f(x) entre 0 et +oo.

Je ne pense pas plus simplifier.

Fred

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Re : Densité d'une variable aléatoire

Tu as un problème de bornes... Cela se simplifie bien mieux que cela!

Blis3

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Re : Densité d'une variable aléatoire

pourtant f(x)>0 sur ]0,+oo[ donc quand j'intègre f(x) entre 0 et +oo, ça me donne littéralement F(+oo)-F(0)=F(+oo)

donc j'obtiens  lim 1/x * F(+oo)/R(t)

bizarre à calculer quand meme...

Fred

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Re : Densité d'une variable aléatoire

Je suis d'accord avec
[tex]P(t\leq X\leq t+x)=F(x+t)-F(t)[/tex] mais pas du tout avec les intégrales que tu écris après.
Il est clair que t et t+x doivent apparaitre...

Blis3

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Re : Densité d'une variable aléatoire

ah oui donc :

F(x+t)-F(x)=int f(x)dx entre t et x+t. Comme t>0 alors x+t>0 donc f(x)>0.

comme on veut la limite quand x tend vers 0 alors l'intégrale devient : int (f(x)dx entre t et t soit 0

Fred

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Re : Densité d'une variable aléatoire

Est-ce que tu lis ce que j'écris? Je ne suis pas d'accord pour la limite car tu as divisé par x. Relis mon post 5.

F.

Blis3

Invité

Re : Densité d'une variable aléatoire

oui vous me demandez de calculer G'(0) avec le taux d'accroissement pour connaitre la limite en x=0.

G'(0)=f(0)
honnetement j'ai du mal à comprendre comment faire. f(0) ne peut pas être calculé avec les données de l'énoncé...

Fred

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Re : Densité d'une variable aléatoire

Certes, mais on répond quand même à la question 2, puisqu'on exprime H en fonction de f et de R.

Et puis G'(0) ne vaut pas f(0), mais f en un autre point.

Dernière modification par Fred (03-02-2015 07:57:19)