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#1 28-01-2015 12:17:45
- jimijims
- Membre
- Inscription : 04-12-2013
- Messages : 30
Dualité
Bonjour,
Je commence à comprendre comment déterminer une base duale, antéduale... lorsque nous sommes dans un cas [tex]\K^n[/tex], et dont on connait une valeur fixé de [tex]n[/tex]. Par contre, lorsqu'on me pose la même question avec [tex]n \in \mathbb{N}[/tex] rien ne va plus...
Par exemple :
Soit [tex]E = K_{n - 1}[X][/tex], on définit [tex]\Delta P : E \rightarrow E[/tex] par [tex]\Delta P = P(X+1)-P(X)[/tex], et pour [tex]k \in \{0, \cdots, n - 1\}[/tex] une forme linéaire [tex]\phi_k \in E^*[/tex] par [tex]\phi_k(P) = (\Delta^k(P))(0)[/tex].
1) Montrer que [tex](\phi_0, \cdots, \phi_{n -1})[/tex] est une base de [tex]E^*[/tex].
2) Trouver la base de E dont ([tex]\phi_0, \cdots, \phi_{n - 1})[/tex] est la base duale.
1) dim[tex]E[/tex] = dim[tex]E^*[/tex] = dim[tex](\phi_0, \cdots, \phi_{n - 1})[/tex] donc il suffit de montrer que [tex](\phi_0, \cdots, \phi_{n-1})[/tex] est libre.
[tex]\forall a_i, i = \{0, \cdots, n-1\}[/tex] : [tex]a_0\phi_0(P) + \cdots + a_{n - 1}\phi_{n - 1}(P) = 0[/tex].
Or, un polynôme est nul si tous ses coefficients sont nuls donc si [tex]a_0 = \cdots = a_{n - 1} = 0[/tex].
donc [tex](\phi_0, \cdots, \phi_{n - 1})[/tex] est libre et est donc une base de [tex]E^*[/tex].
2) Là je suis bloqué...
Si [tex]n[/tex] est fixé, je sais comment faire : par exemple, si [tex]n = 2[/tex], je chercherai la matrice de passage [tex]P[/tex] de la base canonique à [tex](\phi_0, \phi_1, \phi_2)[/tex], puis je calculerai [tex]{}^tP^{-1}[/tex] et je prendrais les lignes de cette matrice, mais ici aucune idée...
Merci d'avance pour l'aide qui sera apporté, désolé de poser tant de questions en ce moment sur le forum...
Hors ligne
#2 28-01-2015 12:24:33
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 049
Re : Dualité
Salut,
Avant de résoudre la question 2., je voudrais être sûr que tu as compris la question 1.
Je ne comprends pas ta phrase :
"Or, un polynôme est nul si tous ses coefficients sont nuls donc si a0=⋯=an−1=0 .".
Dans ce cas, quel est le polynôme et quels sont ses coefficients?
F.
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