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mona123

Invité

equation differentielle

bonjour pouvez vous s'il vous plait  m'aider à resoudre ce problem:

Considérons un problème de valeur initiale pour l'équation de transport avec une source non linéaire
u_t - u_x = u^2
   x ∈ R, t> 0,
u (x, t= 0) = g (x).
Où g (x) est fonction continue non négative avec dérivée continue qui atteint son maximum en un seul point x = 0 et g (0) = 1.
a) résoudre le problème de la valeur initiale.
b) Montrer que la solution devient illimitée en temps fini et donc la solution pour le problème n' existe que sur
un intervalle de temps fini. Trouver l'intervalle maximal d'existence.
c) Trouver de coordonnées d'un point (x *, t *) à laquelle la solution de ce problème devient illimitée
en effet la semaine prochaine j'ai an examen en équation différentielle c'est pour cela j'ai besoin de la correction .aidez moi s il vous plait . merci en avance

Roro

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Re : equation differentielle

Bonjour,

On peut t'aider si tu nous dis ce que tu as fait et ou est-ce que tu bloques...

Roro.

mona123

Invité

Re : equation differentielle

bonjour Roro
j’ai essayer avec la premiere question et j’ai trouver
u(x,t)= g(x+t)/(1-tg(x,t))
ma reponse est t-elle vrai ?
si  elle est vrai ,pouvez vous m’aider à terminer la suite?
merci

Roro

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Re : equation differentielle

Bonjour mona123,

Pour savoir si la réponse est juste, c'est très simple : il suffit de voir si la solution proposée vérifie bien l'équation !
Qu'en penses-tu ici ?

Roro.

P.S Connais-tu la méthode des caractéristiques ?

mona123

Invité

Re : equation differentielle

salut Roro
oui j'ai utilisé cette methode pour determiner la solution .mais je ne c'est pas comment continuer?Aider moi s-il vous plait

Roro

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Re : equation differentielle

Bonsoir,

OK. J'imagine que tu as donc vérifié que ta solution était la bonne (modulo la faute de frappe [tex]g(x,t) = g(t+x)[/tex]).

Pour la suite, tu peux te rendre compte que ta solution [tex]u(x,t)[/tex] est bien définie tant que le dénominateur ne s'annule pas.
Il faut donc utiliser les informations que tu as sur la fonction [tex]g[/tex] pour essayer de savoir si [tex]1-tg(x+t)[/tex] va s'annuler...

Roro.

Dernière modification par Roro (20-01-2015 23:07:57)

mona123

Invité

Re : equation differentielle

Bonjour
Oui c’était une faute de frappe . j’ai essayer avec  la suite mais je ne suis pas tout à fait convancu .peut quelqu’un m’aider a repondre au probleme.j’ai besoin d’une correction bien rédigée.
voici ma reponse

u (x, t) = g (x + t) / [1 - t g (x + t)]
j’ai essayer avec la suite voici ma reponse
puisque g n'a que le seul maximum, et est dérivable (et donc continue), ele ne peut jamais augmenter. Comme elle est positif, il a une certaine limite inférieure qui est non-négatif et inférieur à 1 (le seul max à zéro est un). Appelons  g1  borne inférieure, nous avons
0 ≤ g1 ≤ 1.
Comme g est continue, il existe une s2 tels que
g (s2) = (1 + g1) / 2
(s2 est une valeur entre 1 et g1). Si nous laissons
t = 2 / (1 + g1) = 1 / g (s2)> 0
et
x = s2 - t + δ,
puis
x + t + δ = s2,
et
u (x, t) = g (s2 + δ) / [1 - g (s2 + δ) / g (s2)]
= G (s2) g (s2 + δ) / [g (s2) - g (s2 + δ)]

Que se passe comme δ → 0

Fixons un  indice et notons  que puisque g (s) est monotone pour s de 0 à un (peut-être sans limite) s1 (g de 1 à g1) nous pouvons prendre toute utiliser toute  fonction  injectives  ie t = 1 / g (f (s)), s ε [0, s1)  . Ainsi u ne est pas défini partout le long des courbes t = 1 / G (f (s)) et x = f (s) – t.
Merci d’avance

Roro

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Re : equation differentielle

Bonsoir,

Je veux bien essayer de rédiger un peu mais je ne comprend rien à ta réponse !
En particulier, dès le début de ton raisonnement

puisque g n'a que le seul maximum, et est dérivable (et donc continue), ele ne peut jamais augmenter.

Je ne vois pas du tout pourquoi tu dis ça...

Bref, moi je dirai plutôt pour commencer :

La fonction [tex]u[/tex] est bien définie tant que son dénominateur ne s'annule pas. Autrement dit [tex]u(x,t)[/tex] existe tant que [tex]t g(x+t)<1[/tex].

On va d'abord montrer que le temps d'existence est aussi proche de [tex]1[/tex] qu'on veut :
Soit [tex]0\leq t<1[/tex]. Par hypothèse on sait que g[tex](x+t)\leq 1[/tex] pour tout [tex](x,t)[/tex], donc (puisque t<1) on a [tex]t g(x+t)<1[/tex] : la solution existe jusqu'à [tex]t[/tex].

On montre ensuite que le temps d'existence est inférieur à [tex]1[/tex] :
Supposons que [tex]u(x,t)[/tex] existe pour tout [tex]x\in \mathbb R[/tex] et tout [tex]t\in [0,1][/tex].
On aurait donc [tex]t g(x+t)<1[/tex] pour toutes ces valeurs de [tex]t[/tex] et [tex]x[/tex]. Or par hypothèse, on sait que [tex]g(0)=1[/tex], ce qui est contradictoire si on prend [tex]x=-1[/tex] et [tex]t=1[/tex] : la solution n'existe pas jusqu'au temps [tex]1[/tex].

Est ce que tu es d'accord avec ce que j'ai écrit ?

Roro.

mona123

Invité

Re : equation differentielle

salut Roro
merci pour la reponse
oui j'ai compris jusque la .pouvez vous continuer s'il vous plait?
merci

Roro

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Re : equation differentielle

Re-bonsoir,

salut Roro
merci pour la reponse
oui j'ai compris jusque la .pouvez vous continuer s'il vous plait?
merci

Non !

Je ne vais pas te faire un corrigé de ton exercice pour que tu le recopies tel quel !
Surtout qu'il n'y a quasiment plus rien à faire. Si tu as bien compris alors tu verras que c'est terminé...

Roro.

mona123

Invité

Re : equation differentielle

en effet je n'est pas compris pourquoi vous n'avez pas discuter le cas si tg(x+t) est superieure à 1

Roro

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Re : equation differentielle

Parce que la solution ne peut pas exister si [tex]tg(x+t)=1[/tex]. Puisqu'elle est continue et qu'en [tex]t=0[/tex] on a [tex]tg(x+t)<1[/tex] alors cette inégalité doit toujours être vérifiée.

mona123

Invité

Re : equation differentielle

j'ai essayer de terminer voila ma reponse:
Si 0=<t<1 : 0 =< g(x+t)/(1-tg(x+t)) =< 1/(1-t)
x € R , t € [01[ est  l'interval maximal de définition
pour la question c) a mon avis  la reponse est point (x,t)=(-1,1)
mais je n'arrive pas a rediger l'explication

Roro

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Re : equation differentielle

Je suis d'accord pur la question c).

Roro.

mona123

Invité

Re : equation differentielle

mon explication pour la solution maximal est donc fausse?

Roro

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Re : equation differentielle

Bonsoir,

de quelle explication parles-tu ?
Je ne pense pas avoir vu une telle preuve dans ce que tu as écris, ou alors je n'y ai rien compris...

Roro.