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#1 15-12-2006 10:48:50

galdinx
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Methode d'approximation des moindres carres non lineaires [Résolu]

Bonjour,

Est-ce que quelqu'un pourrait m'indiaquer comment lineariser e(n)=A*sin(w.n+phi)+C ou A, w phi et C sont des inconnus afin de pouvoir y appliaquer une methode des moindres carres lineaires s'il vous plait? si cela n'est pas possible, auelau'un connait-il une methode de resolution non lineaire?


Merci par avance.


Bye

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#2 15-12-2006 11:17:07

john
Invité

Re : Methode d'approximation des moindres carres non lineaires [Résolu]

Il n'est pas nécessaire que e(n) soit linéaire pour déterminer les inconnues par une méthode des moindres carrés.
http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … eglin.html
mais c'est certes plus compliqué.
Bye

#3 15-12-2006 15:22:13

galdinx
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Re : Methode d'approximation des moindres carres non lineaires [Résolu]

Re

Oui mais il faut etre sous forme exponentielle pour en prendre le logarithme mais la :s
C'est pour ca qu'il faudrait linéariser ou au moins avoir des exponentielles.
Sinon si qu'elqu'un connait une autre méthode que les moindres carrés je suis preneur aussi...


Bye

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#4 16-12-2006 07:38:20

JJ
Invité

Re : Methode d'approximation des moindres carres non lineaires [Résolu]

Dans le cas de cette fonction sinusoidale, je ne crois pas qu'il soit possible de se ramener, d'une façon ou d'une autre, à une forme linéaire avant d'effectuer une régression classique.
Je pense qu'on ne peux pas éviter une régression non linéaire qui procède par approximations successives. Une méthode est décrite dans :
http://mathworld.wolfram.com/NonlinearL … tting.html

#5 16-12-2006 13:19:25

galdinx
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Re : Methode d'approximation des moindres carres non lineaires [Résolu]

Bonjour,


Merci pour cette réponse JJ, je vais essayer de résoudre comme ca


Bye

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#6 19-12-2006 09:01:52

JJ
Invité

Re : Methode d'approximation des moindres carres non lineaires [Résolu]

Bonjour galdinx,

je pense qu'il y mieux à faire que ce que j'ai indiqué dans mon message précédent.
Un article qui vient de parraitre dans le magazine QUADRATURE, n°63, pp.33-40, a pour sujet les questions d'optimisation par la méthode des moindres carrés. Un exemple  y est traité en détail (régression circulaire). Mais, en dehors des principes généraux et de cet exemple, vous n'y trouverez pas la réponse "toute faite" à votre problème.
En fait, dans votre cas, la fonction considérée peut être écrite sous la forme :
e(n)=A*sin(w.n)+B*cos(w.n)+C
C'est une forme linéaire relativement à trois paramètres A, B, C et non linéaire pour le paramètre w. Toute la difficulté est donc d'obtenir une valeur optimum pour w.
Après réflexion, je pense que la méthode la plus fiable consisterait en une FFT (Fast Fourier Transform). Appliquée aux données numériques, c'est à dire aux couples (n, w(n)), si la fonction est effectivement du genre fonction circulaire avec une fréquence fondamentale unique, sa transformée sera une fonction de Dirac, c'est à dire apparaissant sous la forme d'un pic (ou d'une raie selon la façon de parler) localisé à w, ce qui donnera la valeur numérique optimum de w.
L'avantage de cette méthode est qu'il existe des logiciels très performants et d'usage courant pour effectuer des FFT. Donc il y aurait peu de mise au point nécessaire et peu de risque d'échec.
Ensuite, avec cette valeur de w trouvée préalablement, que l'on introduirait dans  e(n)=A*sin(w.n)+B*cos(w.n)+C les copefficients A, B et C peuvent être aisément optimisés par régression linéaire classique.

#7 19-12-2006 09:31:13

john
Invité

Re : Methode d'approximation des moindres carres non lineaires [Résolu]

Très astucieux JJ... si toutefois on dispose d'un échantillon suffisant pour la FFT (ça ne marchera pas pour une portion de sinusoïde par exemple).
Bravo, quand même, il fallait y penser.
Bye

#8 19-12-2006 09:50:57

JJ
Invité

Re : Methode d'approximation des moindres carres non lineaires [Résolu]

Bonjour John,
d'accord, si les données ne couvrent qu'une portion de sinusoïde, il serait probablement mieux d'utiliser la méthode moins spécifique référencée dans mon premier post.
Il n'est d'ailleurs pas certain qu'elle puisse donner une valeur de w plus fiable que ce que la FFT pourait péniblement donner. Il serait intéressant de comparer les deux méthodes.

#9 19-12-2006 10:09:48

JJ
Invité

Re : Methode d'approximation des moindres carres non lineaires [Résolu]

Je pense que si l'échantillon ne couvre qu'une portion de sinusoïde, on est trop près d'une fonction du genre polynôme du second ou du troisième degré. S'il y a un tant soit peu de dispersion dans les points expérimentaux, les deux méthodes qui ont été suggérées risquent de donner une valeur très imprécise de w (et il n'est pas sûr, à priori, que la FFT, même avec un "pic" large et très mal localisé, soit beaucoup plus mauvaise que l'autre méthode).
Dans le cas d'une portion de sinusoïde, je crois qu'une bonne méthode consisterait à échantillonner les w sur une plage probable et pour chacun d'eux, calculer l'écart quadratique moyen après régression linéaire. En traçant ce résultat en fonction des w échantillonés, il devrait apparaitre un ou des minimum permettant de localiser au mieux une valeur de w.

#10 19-12-2006 12:03:09

galdinx
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Re : Methode d'approximation des moindres carres non lineaires [Résolu]

Bonjour,

Quelques petites précision.

Il s'agit en fait d'un signal initial analogique qu'on a numérisé en l'échantillonant sur 1024 points avec une fréquence connues.*
Le but de l'exercice est de retrouver les paramètres cités précedemment correspondants à l'amplitude, la fréquence, la phase et l'offset du signale initial grace à des méthodes d'approximations.

Après concertations avec mes profs, il faut en fait écrire le système d'équations correspondant à l'annulation des dérivées partielles par rapport a chacune des inconnue puis en calculant le jacobien du systèmes, d'approcher au mieux les paramètres initiaux grace à  une méthode itérative dite de Newton.
Cette méthode rejoint la première que m'a donné JJ.


Je constate cependant que la 2nde méthode de JJ est bien plus simple a mettre en oeuvre (que d'écrire la méthode itérative avec 20 équations sous MATLAB) mais j'aimerais alors savoir si l'échantillonage est suffisent pour l'appliquer ???(la partie ou w est connue ayant déja été traitée dans mon projet grace a une mathode des moindres carrés linéraires)

Merci par avance.


Bye

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#11 19-12-2006 12:17:47

JJ
Invité

Re : Methode d'approximation des moindres carres non lineaires [Résolu]

Bonjour galdinx,

C'est un bel échantillon avec ce nombre de points !
Je pense qu'une difficulté éventuelle serait moins due au nombre de points qu'à l'étendue sur la quelle ils sont pris. L'imprécision du résultat sera d'autant plus réduite que les points couvrent plus de périodes de la sinusoïde.
Mais John, qui a fait très justement remarquer le risque, pourrait certainement  donner un avis pertinent.

#12 19-12-2006 12:29:15

JJ
Invité

Re : Methode d'approximation des moindres carres non lineaires [Résolu]

Citation : "Après concertations avec mes profs, il faut en fait écrire le système d'équations correspondant à l'annulation des dérivées partielles par rapport a chacune des inconnue puis en calculant le jacobien du systèmes, d'approcher au mieux les paramètres initiaux grace à  une méthode itérative dite de Newton."
En effet, il s'agit bien de la première méthode (qui est très générale et donc non spécifique du cas sinusoïdal)
Si c'est ce que les profs attendent (dans le but de faire pratiquer la méthode générale), il ne faut pas les décevoir : prendre son courage à deux mains et mettre cela en place quelqu'en soit le travail nécessaire.
Mais il pourrait être bien apprécié de fournir en supplément, la cerise sur le gâteau, une autre méthode plus élégante (du moins on peut l'espérer) dans le cas présent.

#13 19-12-2006 13:23:02

galdinx
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Re : Methode d'approximation des moindres carres non lineaires [Résolu]

Re

Nous sommes bien d'accord sur la cerise sur le gateau et c'est pour ca que je demandais des précisions sur la faisabilité de la méthode FFT...


en ce qui concerne le risque lié a l'échantillonage, je pense que les profs ont pris des points suffisemments rapprochés pour couvrir toute la sinusoide car nous avons traité un cas ou l'on connaissait une valeur approchée de la fréquence et que l'on conserve les meme points. De plus je pense pas que dans le cas contraire la 1ère méthode donne des résultats bien meilleurs.


En ce qui concerne de prendre le courage a de mains je lui dis plutot "à demain" (dsl) ; en effet je ne compte plus les heures passées a essayer de débugguer mon programme itératif sans succès... mais je finirai par trouver^^

Merci bcp JJ et John


Bye

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#14 04-02-2009 18:27:58

JJ
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Re : Methode d'approximation des moindres carres non lineaires [Résolu]

Bonjour,

Une autre méthode que celles évoquées précédemment est décrite dans le document intitulé "Régression sinusoïdale", disponible à l'adresse suivante.
Il s'agit d'un procédé franchement différent de ceux traditionnellement évoqués dans les cas de régressions non linéaires. En effet il est non ittératif de par son principe même.
Voici le lien :
http://les-mathematiques.u-strasbg.fr/p … msg-492313

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