Valeur d'adhérence d'une suite

topologie · 04-01-2015 21:53:45

Bonsoir, je viens avec cet exercice je suis complétement perdu

Comment faire pour trouver les valeurs d'adhérences pour les deux suites suivantes:

[tex]x_n=\sin(n\frac{\pi}{6})[/tex]et [tex]y_n=\frac{(-1)^n}{n}+\sin(\frac{2n\pi}{3})cos(\frac{2\pi}{3})[/tex]

Je n'arrive pas du tout à raisonner, quelqu'un pourrais me donner la méthode à suivre, les étapes,.

Merci d'avance.

Fred · 04-01-2015 22:21:17

Salut,

Commençons par la suite [tex](x_n)[/tex]. Regarde les valeurs successives de cette suite.
Tu verras qu'elle ne prend qu'un nombre fini de valeurs....

Fred.

topologie · 04-01-2015 22:32:19

bonsoir,

bon j'ai [tex]x_0=0,x_1=\frac12, x_3=\frac{\sqrt{3}}{2}, x_5=\frac12,x_6=0,x_7=-\frac12,...[/tex] donc l’ensemble des valeurs de [tex]x_n[/tex] est [tex]\{0, \frac12,\frac{\sqrt{3}}{2}, 1,-\frac12,-\frac{\sqrt{3}}{2}, -1\}[/tex]

je fait quoi après qu'est ce que j'applique ?

merci d'avance

Fred · 04-01-2015 22:58:50

D'abord, tu dois pouvoir montrer que toutes ces valeurs sont des valeurs d'adhérence de la suite.
Rappel : Pour chacune de ces valeurs, il suffit de trouver une sous-suite qui converge vers elle.

F.

topologie · 04-01-2015 23:03:13

On a par définition que pour tout ensemble [tex]A[/tex], [tex]A\subset \overline{A}[/tex], donc pour quoi faire cette opération ?

Fred · 04-01-2015 23:28:41

Tu ne dois pas confondre valeur d'adhérence d'une suite, et point adhérent à un ensemble.
Par exemple, si je considère la suite [tex]u_n=\frac 1n[/tex], alors 1 est une valeur prise par la suite [tex](u_n)[/tex],
mais ce n'est pas une valeur d'adhérence de la suite.
Relis bien la définition de ton cours....

topologie · 05-01-2015 17:54:24

pour [tex]0[/tex] il existe une sous suite [tex]x_{6k}[/tex] qui converge vers [tex]0[/tex], pour [tex]\frac12[/tex] il existe une sous suite [tex]x_{12k+1}[/tex], pour [tex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex] je prend la sous suite [tex]x_{12k+2},[/tex] pour[tex] 1, x_{12k+3}[/tex], pour [tex]-\frac12, x_{12k+7},[/tex] pour [tex]-\frac{\sqrt{3}}{2}, x_{12k+8}[/tex], pour [tex]-1, x_{12k+9}.[/tex]

Comment être sure qu'il n'y a pas d'autre valeurs d'adhérences ?

Merci

Dernière modification par topologie (05-01-2015 17:58:22)

Fred · 05-01-2015 19:28:13

Bonjour,

Si tu prends un réel [tex]\ell[/tex] différent des précédents, alors il existe [tex]\delta>0[/tex] tel que, pour tout entier n, alors [tex]|x_n-\ell|>\delta[/tex]. En particulier, aucune sous-suite ne peut converger vers [tex]\ell[/tex].

F.

topologie · 05-01-2015 19:47:27

Pardons mais qu'est ce qu'on applique pour démontrer ça, et on applique quoi aussi pour avoir l'existence de ce[tex] \delta[/tex] ?

merci d'avance

Fred · 05-01-2015 20:18:54

Il suffit de poser [tex]\delta=\min(|\ell-0|, |\ell-1/2|, |\ell-\sqrt 3/2|,...)[/tex].
Ensuite, si [tex] |x_n-\ell|>\delta [/tex], c'est aussi vrai pour toute sous-suite, et passe alors à la limite dans l'inégalité!

topologie · 05-01-2015 20:21:46

Mais je n'ai pas toujours compris qu'utilise t on pour obtenir ça , comment nous vient l'idée de dire il existe \delta...
ce que je veux comprendre c'est qu'elle est la définition qu'on utilise pour dire que ce l n’existe pas ?

Merci

Dernière modification par yoshi (05-01-2015 22:22:22)

Fred · 05-01-2015 22:25:27

La définition de la valeur d'adhérence d'une suite!!! Quelle est pour toi la définition de la valeur d'adhérence d'une suite???

topologie · 05-01-2015 22:42:12

moi j'ai cette définition mais je ne sais pas comment l'appliquer a est une valeur d'adhérence de [tex](x_n)[/tex] si [tex]\forall \varepsilon>0,\forall n\in \mathbb{N},\exists n_0\geq n, d(x_{n_0},a)\leq \varepsilon[/tex]

Fred · 05-01-2015 22:52:44

D'accord. Ben ici, puisque [tex]\forall n\in\mathbb N, |x_n-\ell|>\delta[/tex], [tex]\ell[/tex] n'est bien pas une valeur d'adhérence!

topologie · 05-01-2015 22:58:28

Donc on a la négation de cette définition pour dire que [tex]\ell[/tex] n'est pas une valeurs d'adhérence ?

S'il vous plait, est ce que cette définition que j'ai est la même que l'existence d'une sous suite ? sinon comment on fait pour démontrer avec cette définition ?

Merci d'avance.

Fred · 05-01-2015 23:52:03

topologie a écrit :

Donc on a la négation de cette définition pour dire que [tex]\ell[/tex] n'est pas une valeurs d'adhérence ?

Oui.

topologie a écrit :

S'il vous plait, est ce que cette définition que j'ai est la même que l'existence d'une sous suite ?

Oui.

topologie a écrit :

sinon comment on fait pour démontrer avec cette définition ?

Si [tex]\ell[/tex] était valeur d'adhérence de [tex](x_n)[/tex], il existerait une sous-suite [tex](x_{\phi(n)})[/tex] qui convergerait vers [tex]\ell[/tex]. Mais [tex] |x_{\phi(n)}-\ell|\geq\delta[/tex] pour tout n, et en passant à la limite, on aurait [tex]0\geq\delta[/tex], une contradiction.

topologie · 06-01-2015 20:01:21

Bonsoir, merci pour votre réponse

Pour la suite [tex]y_n[/tex], j'ai pas pu faire la même chose que [tex]x_n[/tex], en faite [tex]y_n=\frac{(-1)^n}{n}+-\frac12\sin(\frac{2n\pi}{3})[/tex]

lorsque n est impair [tex]\sin(\frac{2n\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex] si n est pair [tex]\sin(\frac{2n\pi}{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]

si 2n est un multiple de 3 alors [tex]\sin(\frac{2n\pi}{3})=0[/tex]

il n y a pas d'ensemble fini de valeurs de y_n , donc je ne sais pas comment appliquer la définition.

Merci

Fred · 06-01-2015 22:07:51

C'est un petit peu plus compliqué, mais je suis sûr qu'avec les sous-suites, tu peux trouver au moins deux valeurs d'adhérence.

Fred.

topologie · 06-01-2015 22:21:40

J'ai essayer avec [tex]n=2k[/tex] i.e., n pair et [tex]n=2k+1[/tex] , mais y a pas de limite pour [tex]\sin(4k\pi/3)[/tex] lorsque [tex]k[/tex] tend vers [tex]+\infty[/tex]

Dernière modification par topologie (06-01-2015 22:23:22)

Fred · 06-01-2015 22:29:34

Peut-être que je me suis emporté à cause de ton post 17, mais que se passe-t-il si tu regardes plutôt de 3 en 3?

topologie · 06-01-2015 22:32:57

les mêmes résultats pour le sinus, [tex]\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2},0[/tex] ce qui change c'est le premier terme

Fred · 06-01-2015 22:50:48

Alors, avec les suites extraites correspondantes???

topologie · 06-01-2015 23:01:26

Je n'arrive pas à définir les sous suites, je sais que n pair donne [tex]-\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex] mais même si je pose n=2k ça va être la même chose pour k

Fred · 06-01-2015 23:23:26

Pourquoi ne suis-tu pas l'idée que je t'ai donné avant. Il ne faut pas regarder la suite de 2 en 2, mais de 3 en 3!

topologie · 06-01-2015 23:32:57

oui c'est ce que j'essaye de faire, n impair, n pair puis 2n multiple de 3 non? j'ai fait plusieurs tentatives mais je n'y arrive pas

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