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chacha21256

Invité

Déterminer la limite d'une suite

Bonjour à tous,

J'ai complètement fait l'exercice suivant, sauf que je suis bloquée aux deux dernières questions, pouvez vous m'aider ? :)

1) Soit f la fonction définie sur ]0;+infinie[ par f(x)= ln(1 + 1/x ) - x

a) Déterminer les limites de la fonction f en 0 et en +infinie. ->FAIT

b) Montrer que la fonction f est strictement décroissante sur ]0;+infinie[. ->FAIT

c) Montrer qu'il existe un unique réel alpha appartenant à ]0;+infinie[ tel que f(alpha)=0. ->FAIT

Déterminer une valeur approchée de alpha à 10^-3 près. ->FAIT

2) Soit g la fonction définie sur ]0;+infinie[ par : par g(x)= ln(1 + 1/x ). La suite (Un) n appartenant à N est définie par Uo=1,5 et pour tout entier naturel n : Un+1 = g(Un).

a) Représenter la courbe C représentative de la fonction g et la droite d'équation y=x. ->FAIT

b) Construire sur l'axe des abscisses les 5 premiers termes de la suite Un. ->FAIT

c) On admet que la suite Un est convergente vers une limite strictement positive L.

Montrer que : ln(1 + 1/L )=L

d) Démontrer que L = alpha

Voilà, pouvez-vous me donner des pistes pour la 2)c) et 2)d) ? :)

Merci d'avance ! :D

totomm

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Re : Déterminer la limite d'une suite

bonsoir,

L'intersection M de la courbe C et de la droite y=x se fait exactement au d'abscisse alpha.

Ayant  alpha = Ln(1 + (1/alpha)) (d'après la question 1c)
Si U_n > alpha alors U_{n+1} < alpha
Si U_{n+1} < alpha alors U_{n+2} > alpha

Si du point d'abscisse U0 vous pointez y0 sur C et menez une parallèle à l'axe des x
Cette parallèle coupe la droite y=x  au point d'abscisse U1

Si du point d'abscisse U1 vous pointez y1 sur C et menez une parallèle à l'axe des x
Cette parallèle coupe la droite y=x  au point d'abscisse U2

Etc… vous entourez le point M de C d'un "escargot" dont la limite est M

Bonne suite.

chacha21256

Invité

Re : Déterminer la limite d'une suite

L'intersection M de la courbe C et de la droite y=x se fait exactement au d'abscisse alpha.

Pour ça, je suis d'accord avec vous, mais pour

Ayant  alpha = Ln(1 + (1/alpha)) (d'après la question 1c)
Si U_n > alpha alors U_{n+1} < alpha
Si U_{n+1} < alpha alors U_{n+2} > alpha

Si du point d'abscisse U0 vous pointez y0 sur C et menez une parallèle à l'axe des x
Cette parallèle coupe la droite y=x  au point d'abscisse U1

Si du point d'abscisse U1 vous pointez y1 sur C et menez une parallèle à l'axe des x
Cette parallèle coupe la droite y=x  au point d'abscisse U2

je ne tombe pas sur les bons points, peut être que mes 5 premiers termes ne sont pas bons, on a bien :

Uo = 1,5 ?

U1 = 0,5 ?

U2 = 1 ?

U3 = 0,6 ?

et U4 = 0,9 ?

merci

totomm

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Re : Déterminer la limite d'une suite

Bonsoir,

Vos Un sont bons, comparez avec 4 décimales :
1,5000
0,5108
1,0849
0,6535
0,9283
0,7310
.

0.8065 = alpha

Quand vous avez lu :

Ayant  alpha = Ln(1 + (1/alpha)) (d'après la question 1c) : Si U_n > alpha alors U_{n+1} < alpha

vous avez bien sûr complété :
[tex]Si\ U_n > alpha\ alors\ U_{n+1}=Ln(1+\frac{1}{U_n})<Ln(1+\frac{1}{alpha})=alpha
[/tex]
[tex]Si\ U_{n +1}< alpha\ alors\ U_{n+2}=Ln(1+\frac{1}{U_{n+1}})>Ln(1+\frac{1}{alpha})=alpha
[/tex]

chacha21256

Invité

Re : Déterminer la limite d'une suite

ah, j'ai compris ! merci !!

par contre je n'arrive toujours pas à faire votre démonstration :

Si du point d'abscisse U0 vous pointez y0 sur C et menez une parallèle à l'axe des x
Cette parallèle coupe la droite y=x  au point d'abscisse U1

Si du point d'abscisse U1 vous pointez y1 sur C et menez une parallèle à l'axe des x
Cette parallèle coupe la droite y=x  au point d'abscisse U2

alors que mes points sont bons ...

chacha21256

Invité

Re : Déterminer la limite d'une suite

et pour la 2)d) :

comme il faut démontrer que l=alpha, il suffit de prouver que :

aucun Un+infinie < L

et que aucun Un+infinie >  L

comme ca Un+infinie = L