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#1 22-12-2014 18:24:06

topologie
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Propriétés des suites dans un espace métrique.

Bonsoir,

J'ai cet exercice, considérons  la suite [tex](x_n)_n[/tex]  d'un espace métrique [tex](E,d).[/tex] Étudier l'exactitude des assertions suivante :

1) La suite [tex](x_n)_n[/tex] n'admet aucune sous-suite convergente.

2) Si la suite [tex](x_n)_n[/tex] est bornée alors elle admet une sous suite convergente

3)[tex] (x_n)_n[/tex] est de Cauchy [tex]\Longleftrightarrow \forall k\in \mathbb{N}; \displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty} (x_{n+k}-x_n)=0[/tex]

Je cherche des idées de preuve, ou des livres ou je peux trouver la démonstration parce que j'aimerai bien voir  une preuve bien écrite.

La premiére assertion je ne l'ai pas comprise du tout on a pas d'information sur la suite [tex](x_n)_n[/tex] non ?

Cordialement.

Dernière modification par topologie (22-12-2014 18:25:37)

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#2 22-12-2014 22:07:36

Fred
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Re : Propriétés des suites dans un espace métrique.

Bonsoir,

  Pour le 1), je ne comprends pas très bien l'intérêt de la question. J'imagine que l'on attend comme réponse que c'est faux, car il suffit de prendre une suite constante.

Le 2) est faux. On peut considérer un espace métrique dans lequel toute suite est bornée, et pour lequel il n'existe pas forcément de sous-suite convergente. Par exemple, tu peux munir R d'une distance bornée, mais pour laquelle la notion de convergence est la même que la notion classique et considérer la suite [tex]x_n=n[/tex]

Le 3 est faux. Précisément, l'implication (droite vers gauche) est fausse. Il suffit de considérer [tex](\mathbb R,|\cdot|)[/tex] et de prendre une suite qui tend très doucement vers l'infini, de sorte que droit est vrai alors que gauche est faux.

F.

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#3 22-12-2014 22:57:04

topologie
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Re : Propriétés des suites dans un espace métrique.

Bonsoir,

s'il vous plait pour 2) que veut dire une distance bornée ? et la suite [tex]x_n=n[/tex] n'est pas bornée non?
Le théorème de Bolzano-weierstrass que dit de toute suite réel bornée on peut extraire une sous suite convergente, je n'ai pas bien compris votre exemple .

Merci d'avance

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#4 23-12-2014 13:16:01

Fred
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Re : Propriétés des suites dans un espace métrique.

'jour,

  Le théorème de Bolzano-Weierstrass dit cela pour une suite de réels bornée quand on considère R muni de la distance usuelle (celle définie avec la valeur absolue).
Une distance bornée est une distance d pour laquelle il existe un réel M tel que d(x,y)<M pour tous x,y.

Je vais t'aider un peu plus. Considère sur R la distance définie par [tex]d(x,y)=|\arctan(x)-\arctan(y)| [/tex]

F.

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#5 23-12-2014 13:54:58

topologie
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Re : Propriétés des suites dans un espace métrique.

Bonjour,
et on doit montrer que [tex]x_n=n[/tex]  n'admet pas de sous-suite convergente ? je ne vois pas du tout comment on fait ?

Dernière modification par topologie (23-12-2014 13:55:24)

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#6 23-12-2014 16:47:34

Fred
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Re : Propriétés des suites dans un espace métrique.

Par l'absurde....

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#7 23-12-2014 21:53:50

topologie
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Re : Propriétés des suites dans un espace métrique.

c'est à dire que quelque soit la fonction [tex]\phi: \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}[/tex] strictement croissante, [tex](x_{\phi(n)})_n=\phi(n)\rightarrow+\infty [/tex]

et puis rien ! mais une question $x_n=n$ n'est pas bornée .

cordialement

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#8 23-12-2014 22:36:25

Fred
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Re : Propriétés des suites dans un espace métrique.

Elle est bornée pour la distance arctan. Ce n'est pas la distance normale sur R, c'est une autre distance...
On a [tex]d(n,0)=|\arctan(n)-\arctan(0)|\leq\frac\pi2[/tex].
Elle n'admet pas de sous-suite convergente, car si [tex](x_{\phi(n)})[/tex] convergeait vers $\ell$, alors on aurait
[tex]d(x_{\phi(n)},\ell)=|\arctan(x_{\phi(n)})-\arctan(\ell)|\to 0,[/tex] mais ceci tend vers [tex]\frac\pi2-\arctan(\ell)\neq 0[/tex].

Un autre exemple possible est de considérer [tex]\mathbb R[X][/tex] muni par exemple de la norme
[tex]\|P\|_1=\sum_{i=0}^{+\infty}|a_i|,\ P(X)=\sum_i a_i X^i[/tex] et de considérer la suite bornée [tex](X^n)[/tex], qui n'admet pas de sous-suite convergente.

F.

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#9 23-12-2014 22:44:17

topologie
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Re : Propriétés des suites dans un espace métrique.

S'il vous plait, premiére question pourquoi vous calculez [tex] d(n,0)[/tex] , $x_n$ ne tend pas vers 0 ?

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#10 23-12-2014 23:13:05

Fred
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Re : Propriétés des suites dans un espace métrique.

C'était pour justifier que la suite est bornée.

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#11 24-12-2014 08:49:25

topologie
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Re : Propriétés des suites dans un espace métrique.

Bonjour, on peut prendre un nombre différent de 0 ? dans votre définition de distance bornée est pour tout x,y.

pourquoi ici vous fixé 0 ?

bonne journée

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#12 25-12-2014 00:16:25

Fred
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Re : Propriétés des suites dans un espace métrique.

On peut prendre n'importe quel élément d'après l'inégalité triangulaire...

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#13 29-12-2014 21:25:56

topologie
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Re : Propriétés des suites dans un espace métrique.

Bonsoir, si dans la 3éme assertion c'est [tex]d(x_{n+k},x_n)[/tex] au lieu de [tex]x_{n+k}-x_n[/tex] l’assertion est juste dans ce cas ?

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#14 30-12-2014 13:30:50

Fred
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Re : Propriétés des suites dans un espace métrique.

Pas plus car c est exactement la même chose pour le contre exemple que je t ai donné !

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#15 31-12-2014 12:59:35

topologie
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Re : Propriétés des suites dans un espace métrique.

Donc pour vous

[tex]\displaystyle \Longleftrightarrow \forall k\in \mathbb{N}; \displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty} d(x_{n+k},x_n)=0
[/tex]

Mais regardez, on peut remplacer [tex]\forall p,q[/tex] par [tex]\forall m>n[/tex]
http://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_de_C … 3.A9trique

Et on même temps je n'ai pas compris votre contre exemple de quel forme est une suite qui converge doucement ?

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#16 02-01-2015 19:20:53

topologie
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Re : Propriétés des suites dans un espace métrique.

Pouvez vous m'expliquer votre contre exemple pour 3) modifié  s'il vous plait

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#17 03-01-2015 11:08:57

topologie
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Re : Propriétés des suites dans un espace métrique.

Fred, s'il vous plait, s'il vous plait pourquoi vous dite

[tex]\displaystyle d(x_{\phi(n)},\ell)=|\arctan(x_{\phi(n)})-\arctan(\ell)|\to 0[/tex], mais ceci tend vers [tex]\displaystyle \frac\pi2-\arctan(\ell)\neq 0[/tex]

pourquoi [tex]\arctan(x_{\phi(n)})[/tex] tends vers [tex]\frac{\pi}{2}[/tex] ? et pourquoi [tex]\displaystyle \frac\pi2-\arctan(\ell)\neq 0[/tex] ??

S'il vous plait

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#18 03-01-2015 16:22:54

topologie
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Re : Propriétés des suites dans un espace métrique.

C'est pour la 2éme , mais s'il vous plait je pense que

[tex](x_n)[/tex] est une suite de Cauchy [tex]\Longleftrightarrow \forall k\in \mathbb{N}, \lim_{n\rightarrow+\infty}d(x_{n+k},x_n)=0
[/tex]

Je n'arrive pas a trouver un contre exemple

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#19 03-01-2015 16:58:57

yoshi
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Messages : 16 948

Re : Propriétés des suites dans un espace métrique.

Re,


@topologie
Crois-tu que multiplier les posts (3 en 18 h et 4 consécutifs) va faire que Fred réponde plus vite ?
C'est du flood déguisé ?

Je comprends que tu aies envie de savoir, mais patiente donc un peu, s'il te plaît...

@+

      yoshi
- Modérateur -


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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