Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 04-12-2014 20:40:39

tibo
Membre expert
Inscription : 23-01-2008
Messages : 1 097

Tableau de variation de la fonction (x-1)/(e^x +1)

Salut,

Ma sœur qui prépare des concours paramédicaux m'a posé une colle :
Dresser le tableau de variations de la fonction [tex]x\mapsto\frac{x-1}{e^x+1}[/tex]


A quoi sert une hyperbole?
----- A boire de l'hypersoupe pardi !

Hors ligne

#2 04-12-2014 22:25:39

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Tableau de variation de la fonction (x-1)/(e^x +1)

Salut,

  Elle a le droit de dériver j'espère!
Si on note [tex]f[/tex] la fonction, Xcas me dit que sa dérivée est [tex]f'(x)=\frac{g(x)}{(e^x+1)^2}[/tex] avec [tex]g(x)=-xe^x+1+2e^x[/tex].
Je dois étudier le signe de [tex]g[/tex], donc je dérive [tex]g[/tex]. XCas me dit que
[tex]g'(x)=(1-x)e^x[/tex] et donc [tex]g[/tex] est croissante sur [tex]]-\infty,1[ [/tex] et décroissante sur [tex] ]1,+\infty[ [/tex].
La valeur de g en 1 est strictement positive, sa limite en [tex]-\infty[/tex] est 1, sa limite en [tex]+\infty[/tex] est [tex]-\infty[/tex].
Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique [tex]\alpha\in ]1,+\infty[ [/tex] avec [tex]g(\alpha)=0[/tex].

Donc [tex]f[/tex] est croissante sur [tex] ]-\infty,\alpha[ [/tex] et décroissante sur [tex] ]\alpha,+\infty[ [/tex]. Malheureusement, sauf si je suis très fatigué, on ne peut pas résoudre algébriquement l'équation [tex]g(x)=0[/tex] et il faut se contenter d'une valeur numérique pour [tex]\alpha[/tex].

Fred.

Hors ligne

#3 05-12-2014 08:38:13

tibo
Membre expert
Inscription : 23-01-2008
Messages : 1 097

Re : Tableau de variation de la fonction (x-1)/(e^x +1)

Salut,

Ok Merci
J'étais arrivé à la même conclusion, mais je trouvais étrange de ne pas pouvoir exprimer [tex]\alpha[/tex].

PS : Oui elle peut dériver. Il leur est demandé d'avoir un très bon niveau bac S

Dernière modification par tibo (05-12-2014 08:39:44)


A quoi sert une hyperbole?
----- A boire de l'hypersoupe pardi !

Hors ligne

Pied de page des forums