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#1 04-12-2014 20:40:39
- tibo
- Membre expert
- Inscription : 23-01-2008
- Messages : 1 097
Tableau de variation de la fonction (x-1)/(e^x +1)
Salut,
Ma sœur qui prépare des concours paramédicaux m'a posé une colle :
Dresser le tableau de variations de la fonction [tex]x\mapsto\frac{x-1}{e^x+1}[/tex]
A quoi sert une hyperbole?
----- A boire de l'hypersoupe pardi !
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#2 04-12-2014 22:25:39
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 035
Re : Tableau de variation de la fonction (x-1)/(e^x +1)
Salut,
Elle a le droit de dériver j'espère!
Si on note [tex]f[/tex] la fonction, Xcas me dit que sa dérivée est [tex]f'(x)=\frac{g(x)}{(e^x+1)^2}[/tex] avec [tex]g(x)=-xe^x+1+2e^x[/tex].
Je dois étudier le signe de [tex]g[/tex], donc je dérive [tex]g[/tex]. XCas me dit que
[tex]g'(x)=(1-x)e^x[/tex] et donc [tex]g[/tex] est croissante sur [tex]]-\infty,1[ [/tex] et décroissante sur [tex] ]1,+\infty[ [/tex].
La valeur de g en 1 est strictement positive, sa limite en [tex]-\infty[/tex] est 1, sa limite en [tex]+\infty[/tex] est [tex]-\infty[/tex].
Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique [tex]\alpha\in ]1,+\infty[ [/tex] avec [tex]g(\alpha)=0[/tex].
Donc [tex]f[/tex] est croissante sur [tex] ]-\infty,\alpha[ [/tex] et décroissante sur [tex] ]\alpha,+\infty[ [/tex]. Malheureusement, sauf si je suis très fatigué, on ne peut pas résoudre algébriquement l'équation [tex]g(x)=0[/tex] et il faut se contenter d'une valeur numérique pour [tex]\alpha[/tex].
Fred.
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#3 05-12-2014 08:38:13
- tibo
- Membre expert
- Inscription : 23-01-2008
- Messages : 1 097
Re : Tableau de variation de la fonction (x-1)/(e^x +1)
Salut,
Ok Merci
J'étais arrivé à la même conclusion, mais je trouvais étrange de ne pas pouvoir exprimer [tex]\alpha[/tex].
PS : Oui elle peut dériver. Il leur est demandé d'avoir un très bon niveau bac S
Dernière modification par tibo (05-12-2014 08:39:44)
A quoi sert une hyperbole?
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