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Pages : 1
#1 28-11-2014 20:54:47
- Hibou
- Invité
Complété projectif
Bonjour à tous,
Rappel :
Soit : [tex] f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{P}_n ( \mathbb{R} ) = \mathbb{P} ( \mathbb{R}^{n+1} ) [/tex] l'application définie par : [tex]f(x_1 , x_2 , \dots , x_n ) = ( x_1 \ : \ x_2 \ : \ \dots \ : \ x_n \ : \ 1 )[/tex]
qui induit une bijection entre [tex]\mathbb{R}^n[/tex] et le complémentaire dans [tex]\mathbb{P}_n ( \mathbb{R} )[/tex] de l'hyperplan projectif d'équation : [tex]x_{n+1} = 0[/tex].
Géométriquement, l'image par [tex]f [/tex] d'un point [tex]M \in \mathbb{R}^n[/tex] est la droite vectorielle de [tex]\mathbb{R}^{n+1}[/tex] contenant le point [tex](M,1) \in \mathbb{R}^n \times \{ 1 \}[/tex].
Soit [tex]A[/tex] un sous espace affine de [tex]\mathbb{R}^n[/tex], Soit [tex]C(A)[/tex] le sous espace vectoriel de [tex]\mathbb{R}^{n+1}[/tex] engendré par [tex]A \times \{ 1 \}[/tex].
Le complété projectif de [tex]A[/tex] est la variété linéaire projective [tex]\hat{A} = \mathbb{P}_n ( C(A)) = \pi ( C(A))[/tex] avec : [tex]\pi : \mathbb{R}^n \backslash \{ 0 \} \to \mathbb{P}_n ( \mathbb{R} )[/tex] la surjection canonique associée à l'espace projectif [tex]\mathbb{P}_n ( \mathbb{R} )[/tex].
Ma question est la suivante :
Si, en particulier [tex]A \subset \mathbb{R}^n[/tex] est l'hyperplan affine d'équation : [tex]a_1 x_1 + a_2 x_2 + \dots + a_n x_n + a_{n+1} = 0 [/tex], pourquoi son complété projectif [tex]\hat{A}[/tex] est l'hyperplan d'équation : [tex]a_1 x_1 + a_2 x_2 + \dots + a_n x_n + a_{n+1} x_{n+1} = 0 [/tex] ?
Merci d'avance.
#2 07-12-2014 15:44:12
- Hibou
- Invité
Re : Complété projectif
Pouvez vous me filer un petit coup de main svp ?
Merci d'avance.
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