Décomposition en éléments simple

Joan94 · 28-11-2014 16:05:03

Bonjour,
j'essai de comprendre mon cours sur les décomposition .

Et j'ai tenté décomposer des fractions pour mieux assimilé le cours:

Voici donc ces fractions:

1)(x^2+x+3)/(x+1)

Dans le premier cas, on fait la division euclidienne :

(x^2+x+3)/(x+1) et on obtient x^2+x+3= x*(x+1)+3;3 étant le reste, (x+1) le diviseur et x le quotient .

Donc (x^2+x+3)/(x+1)= x+(3/(x+1)) et comme le dénominateur à comme racine -1, On peut écrire que (3/(x+1)) =a/((x+1). a=3 c'est évident,donc la décomposition reste comme telle .

Deuxième cas
(5x^2 +x +9)/(x^2 + 7)^2=(5x^2 +x +9)/(x^4+14x^2+49).= F=A/B
Et selon mon cours,je peut dire que:
On observe que le degré de B(.) est supérieur à celui de A(.), donc la partie entière est nulle.
Après corrigé moi si je me trompe,mais on peut dire que F=a/(x^2 + 7)^2+b/(x^2 + 7)
Mais j'ai du mal à trouvé a et b.

Fred · 28-11-2014 16:08:15

Non, tu ne peux pas dire cela pour le deuxième cas. Les éléments simples, quand on a un polynôme irréductible de degré 2 au dénominateur comme c'est ton cas, sont de la forme
[tex]\frac{ax+b}{x^2+7}\textrm{ et }\frac{cx+d}{(x^2+7)^2}[/tex]

Pour trouver a,b,c,d, il y a plein de méthodes, la plus facile étant de procéder par identification.

Fred.

Joan94 · 28-11-2014 17:22:16

Ah mince,irréductible dans le sens ou on ne peut les factoriser j'imagine.
bon ben je trouverai a,b...Merci :)
Je reverrai aussi mon cours.

Fred · 28-11-2014 19:15:19

Joan94 a écrit :

Ah mince,irréductible dans le sens ou on ne peut les factoriser j'imagine.

Oui, c'est cela. Cela revient à dire que leur discriminant est négatif.

Fred.

Joan94 · 30-11-2014 13:11:09

Fred a écrit :

Joan94 a écrit :
Ah mince,irréductible dans le sens ou on ne peut les factoriser j'imagine.
Oui, c'est cela. Cela revient à dire que leur discriminant est négatif.
Fred.

Ah,ok tout ça c'est lié!
Bon il ne me reste qu'à trouvé a,b...
Merci :)

Joan94 · 30-11-2014 17:52:06

Bon après avoir essayé d"additionner les deux éléments simple pour trouver a,b,c,d j'ai compris que c'était la mauvaise méthode ,en fait a=b=0 et cx+d c'est x+9 d'ou c=1 et d=9 si je ne me trompe pas.

Fred · 30-11-2014 20:22:51

Cela ne peut pas être cela, car tu écris
[tex]\frac{5x^2 +x +9}{(x^2 + 7)^2}=\frac{x+9}{(x^2+7)^2}[/tex]
et c'est évidemment faux (où est passé le [tex]5x^2[/tex]????)

Je ne pense pas que la méthode par identification pose de réels problèmes. Si je ne me trompe pas dans mes calculs, on a
[tex]\frac{ax+b}{x^2+7}+\frac{cx+d}{(x^2+7)^2}=\frac{ax^3+bx^2+(7a+c)x+(7b+d)}{(x^2+7)^2},[/tex]
ce qui te donne immédiatement a=0, b=5, etc...

Fred.

Joan94 · 02-12-2014 13:53:17

Fred a écrit :

Cela ne peut pas être cela, car tu écris
[tex]\frac{5x^2 +x +9}{(x^2 + 7)^2}=\frac{x+9}{(x^2+7)^2}[/tex]
et c'est évidemment faux (où est passé le [tex]5x^2[/tex]????)
Je ne pense pas que la méthode par identification pose de réels problèmes. Si je ne me trompe pas dans mes calculs, on a
[tex]\frac{ax+b}{x^2+7}+\frac{cx+d}{(x^2+7)^2}=\frac{ax^3+bx^2+(7a+c)x+(7b+d)}{(x^2+7)^2},[/tex]
ce qui te donne immédiatement a=0, b=5, etc...
Fred.

Ah ok,c'est le x^3 qui n'existe pas!
Merci :)
Euh non ça ne me pose pas de problème la méthode par identification

totomm · 14-01-2015 20:24:42

Bonsoir,

Joan94 a écrit :

Euh non ça ne me pose pas de problème la méthode par identification

Quand on a bien compris une méthode générale, il n'est pas interdit de faire simple…Par exemple :

[tex]\frac{5x^2+x+9}{(x^2+7)^2}=\frac{5x^2+35-35+x+9}{(x^2+7)^2} =\frac{5}{x^2+7}+\frac{x-26}{ (x^2+7)^2}[/tex]

Koudjinan · 23-02-2019 22:27:22

Je ne comprend pas la méthode utilisée pour cet exercice

yoshi · 24-02-2019 10:56:47

Bonjour, Bonsoir, Salut...,

Merci, s'il vous plaît ne sont pas en option !!!

Quelle méthode ? celle de Fred ? celle de totomm ? Une autre ?

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