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#1 28-11-2014 11:57:36

Issouf
Membre
Inscription : 12-05-2014
Messages : 11

intégrale impropre

bonjour,
aidez-moi à étudier la convergence de l'intégrale suivante:
[tex]\int_0^{+\infty}e^{-t\sin t}dt[/tex]

s'il vous plaît.

Merci

Dernière modification par yoshi (28-11-2014 13:00:42)

Hors ligne

#2 28-11-2014 13:03:45

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : intégrale impropre

Salut,

  Je crois que cette intégrale diverge. Tu as en effet
[tex]\int_0^{2N\pi}e^{-t\sin (t)}dt\geq \sum_{k=1}^{N-1}\int_{2k\pi}^{2(k+1)\pi}e^{-t\sin(t)}dt[/tex]
Sur chaque intervalle, tu fait le changement de variables [tex]u=t-2k\pi[/tex] et tu as
[tex]\int_0^{2N\pi}e^{-t\sin(t)}dt\geq \sum_{k=1}^{N-1}\int_0^{2\pi}e^{-t\sin t}e^{-2k\pi \sin t}dt\geq\sum_{k=1}^{N-1}e^{-2\pi}\int_0^{\pi/2}e^{-2k\pi \sin t}dt.[/tex]

Sur [tex] [0,\pi/2] [/tex], on sait bien que [tex]\sin(t)\leq t[/tex] d'où
[tex]\int_0^{2N\pi}e^{-t\sin(t)}dt\geq \sum_{k=1}^{N-1}e^{-2\pi}\int_0^{\pi/2}e^{-2k\pi t}dt[/tex]

Cette dernière intégrale est facile à calculer et, sauf erreur de ma part, on tombe sur une série divergente.

F.

Hors ligne

#3 30-11-2014 08:09:43

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : intégrale impropre

Issouf n'a pas répondu, alors qu'il s'est connecté depuis ma réponse.....

En fait, il y a plus simple que ce que j'ai écrit (qui a l'avantage de fonctionner en remplaçant [tex]\sin(t)[/tex] par [tex] |\sin(t)| [/tex].
En effet, autour des points du type [tex]2k\pi+3\pi/2[/tex], [tex]\sin(t)=-1[/tex] et donc [tex]-t\sin(t)[/tex] est grand....
On peut trouver [tex]a>0[/tex] tel que, pour tout [tex]k\in\mathbb Z[/tex], on a [tex] \forall t\in [2k\pi+\frac{3\pi}2-a,2k\pi+\frac{3\pi}2+a] [/tex], [tex]\sin(t)\leq -\frac 12[/tex].
On minore l'intégrale sur chacun de ces intervalles, et on a une somme qui tend clairement vers l'infini...

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