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#1 26-11-2014 22:55:36

mad83
Membre
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Réduction endomorphismes.

Bonsoir,
Nous venons d'attaquer ce chapitre dans ma classe mais, nous avons un nouveau prof qui ne fait pas de cours mais nous fait apprendre par les exos...
Son projet: on fait tout ce qui peut tomber dans un concours comme ça vous ne serez pas surpris. C'est un parti pris, on verra si ça se montre efficace.
Maintenant que je me suis bien "plaint", revenons à nos moutons.

Je bloque un peu (ou beaucoup) sur un exercice. Je dois montrer que je peux diagonaliser un endomorphisme qui est une symétrie vectorielle d'un EV.
On souhaite travailler sur l'ensemble des symétries vectorielles et non une symétrie particulière.
Appelons s cet endomorphisme. On a: s o s = id(E)
Alors si j'ai bien compris, cette information nous donne un polynôme lié à l'endomorphisme s, P(X)= (X-1)(X+1).
De plus, ce polynôme annule la matrice extraite de s, donc, si S est la matrice de s dans une base quelconque, P(S)=0.

Je me demande comment l'on sait que ce polynôme est bien le polynôme caractéristique de notre endomorphisme. Vu la tournure de l'exo, c'est le cas, et les valeurs propres sont 1 et -1, les racines du polynôme.

Ensuite, je dois montrer que l'ensemble E est la somme directe des ensembles Ker(s-id) et Ker(s+id). Je pense avoir réussi, mais comment en déduit-on que l'endomorphisme est diagonalisable?


Je vous remercie par avance. Je vous prie de m'excuser. Il ne doit rien y avoir de pire que quelqu'un qui semble ne rien comprendre à ce qu'il fait mais cette nouvelle méthode m'a quelque peu dérouté et je n'ai pas vraiment le temps d'ici demain de voir tout le cours sur un bouquin et faire les exos demandés...

Bonne soirée, encore merci.

Dernière modification par mad83 (26-11-2014 22:56:05)

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#2 27-11-2014 01:22:23

Choukos
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Messages : 148
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Re : Réduction endomorphismes.

Bonjour,

Le polynôme que tu as donné n'est pas le polynôme caractéristique de ton endomorphisme s mais un polynôme annulateur de s. Ce qu'on sait c'est que l'ensemble des racines du polynôme caractéristique est inclus dans l'ensemble des racines de n'importe quel polynôme annulateur.
Du coup l'ensemble des racines du polynôme caractéristique de s est inclus dans {-1,1}. Et tu vérifies (à faire) que 1 et -1 sont bien des valeurs propres (=des racines du polynôme caractéristique).
Le polynôme que tu as choisis n'est pas le polynôme caractéristique, car ce dernier est un polynôme de degré n (n la dimension de E). Toutefois avec ce qui précède tu sais déjà qu'il est de la forme [tex](X-1)^a(X+1)^b[/tex] avec a+b = n.

Pour ta dernière question, si tu as une base de ker(s-id) et une base de ker(s+id), la concaténation des deux te donne ici une base de E quelle est la matrice de s dans cette base ?

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#3 27-11-2014 09:38:50

freddy
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Messages : 7 457

Re : Réduction endomorphismes.

Salut,

remarque en aparté : si on commence par poser la toiture avant d'avoir construit les fondations et ériger les murs de soutènement, j'ai peur que rien ne tienne au final.
Fin aparté.


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#4 27-11-2014 14:56:02

mad83
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Messages : 39

Re : Réduction endomorphismes.

Hello!

Bon d'abord merci, je n'ai pas eu le temps de répondre mais ta réponse m'a aidé à mieux réfléchir et à envisager les choses sous un autre angle. Du coup j'ai la sensation de commencer à comprende un peu de quoi je parle. Pour le prouver (ou pour me vautrer à nouveau, bon moyen de retenir mes bêtises) je dirais que la matrice dont tu parles est la matrice diagonalisée de s, exprimée dans la base constituée des vecteurs propres. Je le dis peut-être mal, mais ne me dites pas que je n'ai encore rien compris!...

Sinon, pour revenir à la méthode, je ne suis pas fan non plus. Disons que cela favorise ceux et celles qui souhaitent limiter les Maths au passage d'un concours d'entrée en école d'ingénieur (encore que, la moindre question un peu plus théorique et c'est la fin des haricots). Mais je dois reconnaître que nous sommes quelques uns (enfin deux...) à ne pas apprécier d'envisager la matière uniquement pour ses applications.
Je suis loin d'être un spécialiste, mais je n'ai pas l'impression que l'on puisse prétendre faire des Mathématiques sans travailler le raisonnement qui les entoure, sans en comprendre (au moins en partie) les fondements. Mais bon...
Du coup, comme complément à Biblaths bien sûr ;-), j'ai trouvé les site UEL des universités en ligne qui est plutôt sympa pour les bases des cours de sup et spé.

Voilà voilà. Encore merci à vous!

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#5 27-11-2014 22:41:28

Choukos
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Messages : 148
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Re : Réduction endomorphismes.

Bonsoir !

Je pense que tu tiens le bon fil, je pense que tu voulais dire qu'on a la matrice diagonale constituée des valeurs propres de s non ? Bon ici en l'occurrence, c'est 1 et -1. Le nombre de 1 correspond à la dimension de l'espace propre Ker(s-id) et le nombre de -1 correspond à la dimension de l'espace propre Ker(s+id).

Il me paraît aussi indispensable de prendre le temps de construire un cours solide, où on prouve des choses, plutôt que de larguer/parachuter quelques recettes prêtes à appliquer.  Tu as beaucoup de livres qui brossent le programme de prépa, chacun à ses préférences, certains bouquins des collections classiques proposent des cours propres et complets sur lesquels tu peux te baser. Voit celui qui te plaît le plus !
Parmis ceux qui proposent un cours complet, il y a les livres de cours (pas ceux de méthodes/recettes) de Jean-Marie Monier que j'aime bien.
Et si jamais les livres de Monier ne te conviennent pas, essaye les "Ramis-Deschamps-Odoux", qui sont plus vieux mais je les trouve super (ils partent loin par contre), ça risque de te manger un temps fou si tu veux travailler tout seul dessus.
Vu que tu poses une question de réduction d'endomorphismes, pour ce qui est de l'algèbre linéaire (et bilinéaire), mon énorme coup de coeur va au livre de Joseph Grifone "Algèbre linéaire" (4ème édition).
Après peut être que tu trouves ton bonheur sur internet, personellement je ne suis pas un fan d'Unisciel (si c'est bien ce site auquel tu fais référence).

Toutefois méfie toi à ne pas trop de disperser non plus... En tout cas bon courage !

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#6 03-12-2014 18:40:11

mad83
Membre
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Messages : 39

Re : Réduction endomorphismes.

Bonsoir,

Avec un retard non négligeable je viens quand-même te remercier pour les coups de main et conseils. Merci aussi pour les bouquins, j'ai vu le dernier que tu cites dans ma BU et je pense qu'il accompagnera durant les vacances de Noêl, les commentaires sur internet semblent attester que tu n'es pas le seul à le recommander chaudement.
Bonne soirée et merci encore!

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